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수학 에서 기대값 이라고도 하는 기대 값 은 임의 변수 값의 장기 평균입니다. 어떻게 보면 임의의 실험을 여러 번 반복한 후 평균적으로 얻을 것으로 예상되는 임의 변수의 값(따라서 “기대값”이라는 이름)에 해당합니다.
해당 무작위 변수의 유형에 따라 기대값을 계산하는 두 가지 방법이 있습니다. 이 변수는 일반적으로 대문자 X로 표시되며 연속적이거나 불연속적일 수 있습니다. 각각의 경우에서 X(E[X]로 표시됨)의 기대값을 계산하는 방법 은 아래에서 볼 수 있는 것처럼 변경됩니다.
불연속 확률 변수의 기대값 계산
무작위 변수는 양적이든 정성적이든 무작위 실험의 각 결과에 숫자 또는 수치 값을 할당하는 함수입니다. 불연속 확률 변수의 경우 가능한 결과의 수가 유한하거나 결과가 첫 번째, 두 번째, 세 번째 등으로 정렬될 수 있는 확률 변수를 나타냅니다.
불연속 확률 변수의 예는 두 개의 6면체 주사위를 굴릴 때 굴린 짝수의 수입니다. 이 경우 확률 변수의 유일한 가능한 값은 0, 1 및 2입니다.
불연속 확률 변수의 기대값은 변수의 각 값과 해당 값의 확률의 곱을 더하여 계산됩니다. 이는 다음 공식을 사용하여 수학적으로 작성할 수 있습니다.
이 방정식에서 E[X]는 X(우리가 결정하려는 값)의 기대치이고 x i는 확률 변수의 i번째 값에 해당하며 P(xi ) 는 실험 결과가 x i 입니다 .
불연속 확률 변수의 기대값을 계산하는 예
기대 가치의 개념을 이해하는 실용적이고 간단한 방법은 우연의 게임을 통해서입니다. 여러 나라에서 텔레비전으로 방송되는 쇼와 같은 행운의 룰렛 게임을 상상해 보십시오. 이 룰렛 휠에는 경우에 따라 400달러를 잃는 4개의 웨지가 있고, 0을 포함하는 5개의 웨지, 1,000달러를 포함하는 6개 웨지 및 6,000달러의 잭팟을 포함하는 1개의 웨지가 있습니다. 문제는 룰렛 참가자들이 장기적으로 얻을 수 있는 금액의 예상 가치는 얼마인가 하는 것입니다.
이와 같은 문제에 직면했을 때 가장 먼저 해야 할 일은 룰렛을 돌리는 실험의 모든 가능한 결과를 결정하는 것입니다. 또한 확률 변수의 가능한 값을 각각 얻을 확률을 결정할 수 있어야 합니다.
현재 사례에서 가능한 결과는 $400, $0, $1,000, $6,000인 4가지뿐입니다. 전체적으로 4 + 5 + 6 + 1 = 16개의 쐐기가 있으므로 임의 변수의 각 결과 확률은 1/4, 5/16입니다. 3/8과 1/16.
| 엑스 | 피(엑스) |
| -$400 | 4/16 = 1/4 |
| $0 | 5/16 |
| $1,000 | 6/16 = 3/8 |
| $6,000 | 1/16 |
이제 예상 값을 결정하기 위해 합산을 수행하는 데 필요한 것이 이미 있습니다.
이것은 장기적으로 룰렛이 참가자들에게 $650를 지불한다는 것을 의미합니다.
연속 확률 변수의 기대값 계산
랜덤 변수가 연속적이라는 것은 가능한 값의 집합이 이 간격이 유한하든 무한하든 관계없이 실수 간격으로 구성됨을 의미합니다. 연속 확률 변수의 경우 확률은 pdf로 대체되고 합계는 적분으로 대체됩니다.
이 방정식에서 x는 연속 확률 변수이고 f (x)는 x의 확률 분포 함수에 해당합니다. 여기에서 알 수 있듯이 임의의 변수 X-의 가능한 모든 값에 대해 적분을 수행해야 합니다.
연속 확률 변수의 기대값 계산 예
분포 함수가 다음과 같이 제공되는 연속 확률 변수를 고려하십시오.
이 연속 확률 변수의 평균 또는 예상 값이 무엇인지 결정하라는 요청을 받습니다.
이 문제를 풀 때, 함수는 실선을 (-∞; -2 ), [-2 ; 2] 및 (2 ; + ∞). 이와 같이 X의 기대값에 대한 공식을 적용하면 적분은 세 적분의 합으로 나뉩니다.
그러나 랜덤 변수 x가 첫 번째와 마지막 간격에서 0이므로 두 적분은 모두 0이며, 이는 -2와 +2 사이에서 평가되는 중심 적분만 제공합니다.
참조
기대값 계산기. (일차). http://www.learningaboutelectronics.com/Articulos/Calcadora-de-valor-esperado.php 에서 가져옴
델 리오, AQ (2019년 9월 4일). 5.4 랜덤 변수의 수학적 기대 | 달콤한 기본 통계. https://bookdown.org/aquintela/EBE/esperanza-matematica-de-una-variable-aleatoria.html 에서 가져옴
López, JF (2021년 2월 15일). 수학적 희망. https://economipedia.com/definiciones/esperanza-matematica.html 에서 가져옴
메이트모바일. (2021년 1월 1일). 연속 확률 변수의 평균 또는 기대값, 분산 및 표준 편차 | 매트 모빌. https://matemovil.com/media-o-valor-esperado-varianza-y-desviacion-estandar-de-una-variable-aleatoria-continua/ 에서 가져옴
웹스터, A. (2001). 비즈니스 및 경제에 적용되는 통계(스페인어판) . 캐나다 토론토: Irwin Professional Publishing.
