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자유도의 개념은 수학과 통계에서 자주 발생합니다. 분야에 따라 개념이 많이 달라집니다.
자유도의 직관적인 개념
직관적으로 자유도는 주어진 상황에서 우리가 할 수 있는 자유로운 선택의 수를 의미합니다 . 예를 들어, 5명의 사람들이 5개의 서로 다른 과일 중에서 선택해야 한다고 가정합니다. 첫 번째 사람은 과일 중 하나를 자유롭게 선택할 수 있습니다. 다음은 나머지 네 가지 과일 중에서 자유롭게 선택할 수 있습니다. 마지막 사람에게 도달하면 처음에는 5개의 과일만 있었기 때문에 이 사람은 마지막 과일을 선택해야 합니다. 즉, 실제로 마지막 사람은 선택의 자유가 없었고 다른 사람은 그렇습니다.
이 경우 처음 4개의 과일을 선택한 후 5번째 사람의 과일이 자동으로 결정되었기 때문에 4개의 자유도가 있다고 말합니다.
다섯 사람이 과일을 자유롭게 선택할 수 있는 선택권이 없었던 이유는 처음부터 과일이 다섯 개뿐이었기 때문이라는 점에 유의해야 합니다. 다섯 명에게 선택권을 지정하지 않고 각자 가장 좋아하는 과일을 고르라고 했다면 다섯 명 모두 선택의 자유가 있었을 것입니다. 이것은 과일이 5개뿐이라는 사실이 선택의 자유도를 감소시키는 제한을 나타냄을 보여줍니다.
수학의 자유도
수학적으로 자유도는 임의 벡터의 도메인 차원 수로 정의됩니다 . 즉, 벡터를 완전히 알기 위해 값을 지정해야 하는 임의 벡터의 구성 요소 수입니다.
이 개념을 더 잘 이해하기 위해 기하학적 관점에서 분석해 보겠습니다. 확률 벡터는 스칼라 확률 변수 세트로 구성된 것으로 정의할 수 있습니다 . 이러한 확률 변수 각각은 한 차원에서 벡터의 구성 요소 중 하나를 나타냅니다. 즉, 이러한 변수 또는 구성 요소의 수( n )는 랜덤 벡터가 자유롭게 이동할 수 있는 n차원 공간을 정의하므로 벡터가 n 자유도를 갖는다고 합니다.
예를 들어, 벡터가 단일 확률 변수로 구성된 경우 이 벡터는 단일 차원에서만 자유롭게 변할 수 있습니다. 결과적으로 특정 벡터를 정의하려면 단일 확률 변수의 값만 선택하면 되므로 자유도가 1뿐이라고 합니다.
반면에 벡터가 두 개의 성분으로 구성되면 2차원 공간, 즉 평면으로 나타낼 수 있습니다. 우리는 이 벡터가 이 두 랜덤 변수가 가정하는 특정 값에 따라 2차원을 따라 자유롭게 이동할 수 있으므로 2자유도를 갖는다고 합니다.
동일한 추론이 3개, 4개 또는 그 이상의 구성 요소가 있는 랜덤 벡터에 대해 작동합니다.
통계에서 자주 사용되는 랜덤 벡터의 대표적인 예는 크기 n의 샘플입니다. 이 경우 샘플의 n개 요소 각각은 랜덤 변수이며, n개의 모든 값은 샘플에 해당하는 랜덤 벡터를 구성합니다. 새로운 샘플을 선택할 때마다 새로운 벡터를 얻을 수 있으며 샘플을 구성하는 각 데이터를 자유롭고 독립적으로 선택하는 것을 금지하는 것은 없습니다.
자유도의 제약
이전 단락에서 설명한 내용으로부터 n 차원의 랜덤 벡터(즉, n개의 독립 구성 요소로 형성됨)는 n개의 구성 요소 중 임의의 값을 가질 수 있으므로 n 자유도를 갖는다는 것을 추론할 수 있습니다. , n개의 랜덤 변수 각각의 선택을 제한하는 것은 없습니다.
그러나 변수가 서로 독립적이지 않고 어떤 수학적 방정식에 의해 관련되어 있으면 값을 선택하거나 지정하면 값이 완전히 결정되는 변수가 있기 때문에 자유도가 감소합니다. 다른 변수.
벡터를 구성하는 랜덤 변수 간의 이러한 관계는 우리가 제약 조건 또는 조건으로 알고 있는 것이며 자유도에 대한 직관적 설명의 “과일은 5개뿐입니다” 조건과 수학적으로 동일합니다.
예:
세 개의 랜덤 변수 x , y 및 z 로 구성된 랜덤 벡터가 있다고 가정합니다 . 처음에 이 시스템은 특정 벡터를 완전히 지정하기 위해 세 변수의 값을 선택해야 하므로 세 가지 자유도를 갖습니다.
그러나 이제 어떤 이유로 이러한 변수가 합계가 5라는 조건을 충족해야 한다고 가정합니다. 이 조건은 각 변수의 특정 값에 대한 선택을 제한 합니다 . y , x y z 또는 y y z ) 세 번째는 방정식 x + y + z = 5 에 의해 결정됩니다.
예를 들어 x = 10 및 y = 5 를 선택하면 변수 z는 어떤 값도 가정할 수 없지만 언급된 조건을 준수하려면 -10의 값을 가져야 합니다.
변수 사이에 더 많은 제약 조건이나 독립적인 관계를 포함하면 자유도를 0까지 줄일 수 있습니다.
통계의 자유도
수학에서 자유도를 보다 명확하게 보는 방법을 사용하면 대부분의 유용성을 발견하는 통계 분야에서 자유도를 이해하는 것이 훨씬 쉬워질 것입니다.
자유도는 통계 계산을 수행하고 t-학생 분포 또는 카이제곱 분포와 같은 확률 분포를 정의하는 데 사용됩니다.
이러한 맥락에서 자유도는 표본 평균, 분산, 표본 표준 편차 등과 같은 일부 통계 변수의 값을 결정하기 위해 지정해야 하는 변수의 수로 구성됩니다.
예를 들어 크기가 n인 샘플의 샘플 평균을 계산할 때 샘플의 n개 항목 값을 모두 알아야 합니다. 평균은 다음 식으로 계산됩니다.
그러나 모평균을 구하는 표본평균을 구하면 표본분산, 표준편차 등 다른 통계변수를 계산하는 데 사용할 수 있다. 이러한 경우, 샘플 요소의 평균과 개별 값이 제한을 나타내는 이전 방정식을 통해 관련되어 있다는 점을 감안할 때 평균에서 계산된 모든 양은 n-1 자유도를 갖는 것이 사실입니다. :
참조
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Minitab 블로그 편집기. (2019년 4월 18일). 통계에서 자유도는 무엇입니까? Minitab 블로그. https://blog.minitab.com/en/what-are-degrees-of-freedom-in-statistics
Pacheco, J. (2019년 10월 15일). ▷ 통계의 자유도 ( 무엇 이며 어떻게 적용되는가) | 2021년 . 웹과 회사. https://www.webyempresas.com/grados-de-libertad-en-estadistica/
