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모집단 표준 편차는 모집단 내 데이터의 변동성 또는 분산을 측정하기 위한 가장 중요한 모집단 매개변수 중 하나입니다. 통계의 모든 매개변수와 마찬가지로 그리스 문자(이 경우 문자 σ(시그마))로 표시됩니다. 이를 통해 유사하지만 동일하지 않거나 동일한 공식으로 계산되지 않는 샘플(들)의 표준 편차와 쉽게 구별할 수 있습니다.
다음으로 예제를 통해 모집단의 표준 편차를 계산하는 다양한 방법을 살펴보겠습니다. 모집단 표준편차를 계산하기 위해서는 모집단 데이터를 모두 알아야 한다는 점에 유의해야 합니다. 이것은 실제 상황에서는 거의 발생하지 않지만 이 중요한 매개변수의 일부 수학적 특성을 이해하는 데 도움이 되므로 계산 방법을 이해하는 것이 여전히 중요합니다.
모집단 표준 편차 공식
사용 가능한 데이터에 따라 세 가지 공식을 사용하여 모집단 표준 편차를 결정할 수 있습니다.
모집단 표준 편차의 수학적 정의
표준 편차는 분산의 제곱근 σ 2 로 정의됩니다 . 즉, 모집단의 분산을 알면 다음 방정식을 사용하여 표준 편차를 계산할 수 있습니다.
이 경우는 거의 발생하지 않지만 기억해 두는 것이 좋습니다.
기타 모집단 표준 편차 공식
모집단의 분산을 아는 대신 모집단을 구성하는 N개의 데이터 항목을 모두 알고 있는 경우 모집단 표준 편차를 평균으로부터의 제곱 편차 평균의 제곱근으로 계산할 수 있습니다. 즉 말하자면:
이 방정식에서 x i는 모집단의 각 데이터 항목의 값을 나타내고 N은 모집단의 데이터 항목 수(또는 모집단의 크기는 동일)를 나타내며 μ는 모집단 평균입니다. 모집단 평균은 또 다른 모집단 매개변수이기 때문에 그리스 문자로 표시되며 모집단의 크기는 일반적으로 표본 크기와 관련된 n과 구별 하기 위해 N(대문자)으로 표시됩니다.
모집단 평균 μ는 다음과 같이 계산됩니다.
방정식 2를 확장, 재배열 및 단순화하여 다음을 얻을 수 있습니다.
모집단의 개별 데이터가 없고 데이터가 빈도표로 그룹화된 경우 이전 공식을 약간 수정하여 다음과 같이 제공합니다.
위의 방정식에서 루트 내에 있는 양은 모집단 분산에 지나지 않습니다. 방정식 4는 방정식 2 및 5의 경우와 같이 일부 모집단 매개변수가 아닌 모집단 데이터 측면에서 독점적으로 설정된다는 장점이 있습니다.
모집단 표준 편차 계산의 예
전 세계적으로 단 20개만 존재하는 것으로 알려진 특정 자동차 모델의 무게 변동성을 확인하려고 한다고 가정합니다. 이 20대 자동차의 킬로그램 단위 중량 데이터는 다음 표에 나와 있습니다.
| 410 | 408 | 408 | 405 | 391 | 390 | 402 | 397 | 397 | 395 |
| 390 | 404 | 397 | 394 | 399 | 397 | 405 | 408 | 410 | 400 |
우리는 이 모델의 자동차가 20대뿐이라는 것을 알고 있으므로 전체 모집단을 나타내므로 모집단 표준 편차를 결정하는 데 필요한 모든 데이터가 있습니다 . 이 표준 편차를 결정하는 세 가지 다른 방법을 살펴보겠습니다 .
방법 1: 분산 정의에 따른 계산
이 방법은 위에 제시된 방정식 2의 사용을 기반으로 합니다. 보시다시피 방정식에는 모집단 평균과 아래에 자세히 설명된 또 다른 일련의 계산이 필요합니다.
1단계: 모집단 평균 결정
모집단 평균 또는 μ는 모든 데이터를 더하고 총 데이터 수(이 경우 20)로 나누는 등식 3을 통해 계산됩니다.
2단계: 평균과의 편차 계산
이 단계에는 빼기( xi – μ) 계산이 포함됩니다 . 예를 들어:
x 1 – μ = 410 – 400.35kg = 9.65kg
x 2 – μ = 408 – 400.35kg = 7.65kg
x 3 – μ = 408 – 400.35kg = 7.65kg
…
X 20 – μ = 400kg – 400.35kg = – 0.35
결과는 다음 표에 나와 있습니다.
| x 나는 | xi – μ |
| 410 | 9.65 |
| 408 | 7.65 |
| 408 | 7.65 |
| 405 | 4.65 |
| 391 | -9.35 |
| 390 | -10.35 |
| 402 | 1.65 |
| 397 | -3.35 |
| 397 | -3.35 |
| 395 | -5.35 |
| 390 | -10.35 |
| 404 | 3.65 |
| 397 | -3.35 |
| 394 | -6.35 |
| 399 | -1.35 |
| 397 | -3.35 |
| 405 | 4.65 |
| 408 | 7.65 |
| 410 | 9.65 |
| 400 | -0.35 |
3단계: 평균에서 모든 편차를 제곱합니다.
(x 1 – μ) 2 = (9.65) 2 = 93.1225kg 2
(x 2 – μ) 2 = (7.65) 2 = 58.5225kg 2
(x 3 – μ) 2 = (7.65) 2 = 58.5225kg 2
…
(x 20 – μ) 2 = (– 0.35) 2 = 0.1225kg 2
결과는 다음 표에 나와 있습니다.
| x 나는 / kg | (xi – μ)/ kg | (xi – μ ) 2 / kg 2 |
| 410 | 9.65 | 93.1225 |
| 408 | 7.65 | 58.5225 |
| 408 | 7.65 | 58.5225 |
| 405 | 4.65 | 21.6225 |
| 391 | -9.35 | 87.4225 |
| 390 | -10.35 | 107.1225 |
| 402 | 1.65 | 2.7225 |
| 397 | -3.35 | 11.2225 |
| 397 | -3.35 | 11.2225 |
| 395 | -5.35 | 28.6225 |
| 390 | -10.35 | 107.1225 |
| 404 | 3.65 | 13.3225 |
| 397 | -3.35 | 11.2225 |
| 394 | -6.35 | 40.3225 |
| 399 | -1.35 | 1.8225 |
| 397 | -3.35 | 11.2225 |
| 405 | 4.65 | 21.6225 |
| 408 | 7.65 | 58.5225 |
| 410 | 9.65 | 93.1225 |
| 400 | -0.35 | 0.1225 |
4단계: 편차 제곱을 모두 더합니다.
5단계: 방정식 2의 공식 적용
이제 이 합계가 있으므로 남은 것은 이 값과 데이터 수(20)를 등식 2로 바꾸는 것입니다.
따라서 자동차 20대 인구의 표준편차는 대략 6.5kg.
방법 2: 재정렬 방정식 사용
이제 동일한 계산을 수행하지만 방금 사용한 방정식과 동일하지만 특히 더 많은 수의 데이터로 작업하는 경우 더 실용적인 방정식 4를 사용합니다. 주요 이점은 편차를 계산할 수 있도록 추가 매개변수(모집단 평균)를 계산할 필요가 없지만 모든 것이 원래 개별 데이터를 기반으로 계산된다는 것입니다. 또한 학생들 사이에서 오류의 주요 원인인 음수로 작업할 필요가 전혀 없습니다.
1단계: 각 개별 데이터의 제곱 계산
즉, 다음 계산이 수행됩니다.
(x 1 ) 2 = (410) 2 = 168,100kg 2
(x 2 ) 2 = (408) 2 = 166.464kg 2
(x 3 ) 2 = (408) 2 = 166.464kg 2
…
(x 20 ) 2 = (400) 2 = 160,000kg 2
결과는 다음 표에 나와 있습니다.
| x 나는 | x 나는 2 |
| 410 | 168,100 |
| 408 | 166,464 |
| 408 | 166,464 |
| 405 | 164,025 |
| 391 | 152,881 |
| 390 | 152,100 |
| 402 | 161,604 |
| 397 | 157,609 |
| 397 | 157,609 |
| 395 | 156,025 |
| 390 | 152,100 |
| 404 | 163,216 |
| 397 | 157,609 |
| 394 | 155,236 |
| 399 | 159,201 |
| 397 | 157,609 |
| 405 | 164,025 |
| 408 | 166,464 |
| 410 | 168,100 |
| 400 | 160,000 |
2단계: 모든 개별 데이터 합산
3단계: 모든 사각형 추가
4단계: 방정식 4의 공식 적용
마지막 단계는 이 두 값과 방정식 4의 데이터 수를 도입하여 모집단 표준 편차를 구하는 것입니다.
방법 3: 스프레드시트 사용
Microsoft Excel, Apple Numbers 또는 Google Sheets와 같은 스프레드시트에는 기본 기능에 표준 편차(표본 및 모집단 모두)를 직접 계산하는 기능이 포함되어 있습니다. 이러한 함수는 데이터 집합을 인수로 사용하고 이전 방법에 표시된 모든 계산을 수행하여 수식이 입력된 셀의 표준 편차를 직접 반환합니다.
절차는 다음과 같습니다.
1단계: 스프레드시트에 데이터 입력
스프레드시트의 아무 곳에나 열, 행 또는 행렬 형식으로 데이터를 입력할 수 있습니다. 다음 스크린샷은 이 문제에 대한 데이터가 Excel 2016에서 어떻게 보이는지 보여줍니다.
2단계: 공식을 사용하여 표준 편차를 계산합니다.
데이터가 추가되면 표준 편차 함수를 사용하여 데이터가 있는 셀을 인수로 배치합니다.
스프레드시트에서 함수를 호출하려면 일반적으로 등호(=) 다음에 사용하려는 함수 이름을 입력하여 시작합니다. 이름은 응용 프로그램마다 약간씩 변경되며 경우에 따라 작업 중인 언어에 따라 변경되기도 합니다.
엑셀(스페인어 버전)의 경우 모집단 표준편차를 계산하는 함수를 STDEV.P라고 하는데, 구글 시트에서는 STDEVP(점이 없는)이다. 그런 다음 괄호 안에 함수의 인수를 입력해야 합니다. 이 예에서는 데이터가 있는 셀 범위(셀 A3에서 J4까지)를 인수로 전달합니다.
ENTER를 누르면 프로그램이 함수를 실행하고 모집단의 표준 편차를 계산하여 아래와 같이 각 셀에 결과를 표시합니다.
우리가 볼 수 있듯이 여기서 실행된 세 가지 방법 중 하나는 동일한 결과를 생성합니다. 같은 일을 하는 방식이 다를 뿐입니다.
다른 방법
위에서 언급한 세 가지 방법 외에도 과학 및 금융 계산기에는 샘플 또는 모집단과 같은 데이터 세트의 표준 편차를 결정하는 기능이 있는 경우가 많습니다. 데이터를 입력하고 결과를 얻는 방법은 제조업체마다, 심지어 계산기 모델마다 다르기 때문에 여기에서 구체적인 단계를 보여주는 것은 비실용적입니다.
대신 가장 중요한 일반적인 단계에 대해 자세히 살펴보지 않고 논의할 것입니다. 공학용 계산기에서 이 기능을 사용하려는 사람은 계산기와 함께 제공된 사용 설명서를 참조하거나 온라인에서 검색하여 각각의 경우에 특정 키 조합을 결정해야 합니다.
1단계: 메모리 지우기
많은 계산기에서 이전에 저장된 데이터는 보이지 않습니다. 이미 저장된 다른 사람의 데이터를 자신도 모르게 입력하면 계산기가 잘못된 결과를 제공합니다. 이러한 일이 발생하지 않도록 하려면 새 데이터를 입력하기 전에 계산기의 모든 메모리(또는 적어도 통계 분석 모드)를 지우는 것이 좋습니다.
2단계: 통계 모드에 액세스
표준 편차를 계산하는 기능은 대부분의 계산기에서 “통계”, “통계” 또는 단순히 “S” 모드의 일부이므로 이 작동 모드로 시작해야 합니다.
3단계: 데이터 입력
이것은 계산기마다 다릅니다. 어떤 경우에는 데이터를 표 형태로 추가할 수 있고, 다른 경우에는 DT(또는 DAT) 키를 누른 후 데이터를 하나씩 입력합니다. 이 단계가 끝날 때 입력한 데이터의 수를 확인하여 누락된 데이터가 없는지 확인하는 것이 중요합니다.
4단계: 모집단 표준 편차 계산
데이터를 입력하고 나면 계산기에 우리가 찾고 있는 결과를 묻는 일만 남습니다. 많은 계산기에서 표본 및 모집단 표준 편차는 기호 σ로 표시됩니다(표본 편차의 경우 오류임에도 불구하고). 그러나 표본편차는 n-1을 동반하고(즉, σ n-1 로 나타남 ) 모집단편차는 s n 으로 나타나므로 표본편차와 모집단편차를 구분할 수 있다 . 이는 표본표준편차를 계산할 때 모집단에서와 같이 n이 아닌 n-1로 나눈다는 사실을 말한다.
참조
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