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동시에 발생하는 두 사건의 확률을 찾는 데 관심이 있는 많은 상황이 있습니다. 그들 중 일부는 다음과 같습니다.
- 두 개의 주사위를 동시에 또는 차례로 굴릴 때 더블 식스를 굴릴 확률을 구하십시오.
- 그룹에서 임의로 선택된 사람이 여성이면서 피부색이 짙을 확률을 구하십시오.
- 학교의 한 섹션에서 이성 학생 한 쌍을 선택할 확률입니다.
- 우주 로켓 발사에서 두 개의 중복 제어 시스템이 동시에 고장날 확률.
이러한 종류의 문제는 확률 곱셈의 일반 규칙을 통해 해결할 수 있습니다. 이 규칙은 두 사건 A와 B에 대해 동시에 발생할 확률, 즉 교차 확률이 다음과 같이 주어진다는 것을 설정합니다.
이 방정식에서 P(A|B)는 이벤트 A가 주어진 B에서 발생할 조건부 확률입니다. 위의 규칙은 일반적인 곱셈 규칙이며 모든 이벤트 쌍에 적용됩니다. 경우에 따라 조건부 확률을 알 수 없거나 결정하기 어렵습니다. 그러나 독립 사건의 경우 이 확률은 독립 사건에 대한 곱셈 규칙을 발생시키기 위해 단순화됩니다.
독립 사건에 대한 곱셈 규칙
독립행사란?
두 사건 A와 B는 둘 중 하나의 발생이 다른 하나의 발생 확률에 영향을 미치지 않으면 서로 독립적입니다. 수학적 용어로, 이것은 우리가 다른 사건이 발생했다는 것을 알고 있는 경우 발생하는 사건의 조건부 확률이 첫 번째 발생의 단순 확률과 같다는 것을 의미합니다. 즉, 두 이벤트는 다음과 같은 경우에만 독립적입니다.
위의 해석은 B가 발생했을 때 A가 발생할 확률은 A가 발생할 확률과 같다는 의미로, 이는 B의 발생이 A가 발생할 확률에 영향을 미치지 않았으므로 두 사건이 모두 발생한다는 것을 의미합니다. 방법.
위의 조건을 만족하지 않는 이벤트 쌍은 종속 이벤트가 됩니다.
이 경우 곱셈 규칙은 어떻게 영향을 받습니까?
보시다시피 독립 조건의 첫 번째 표현은 일반 곱셈 규칙을 단순화하는 데 사용할 수 있습니다. 첫 번째 요소는 A의 단순 확률로 대체될 수 있으므로 다음 표현을 얻을 수 있습니다.
위의 식은 독립 사건에 대한 확률 곱셈의 규칙 으로 알려져 있습니다 . 그것은 두 사건이 서로 독립적이라는 것을 알고 있고 그들의 발생 확률을 알고 있다면 단순히 이 확률을 곱함으로써 두 사건이 동시에 발생할 확률을 찾을 수 있음을 의미합니다.
독립 이벤트의 예
정보가 부족하면 두 이벤트가 독립적인지 식별하기 어려울 수 있습니다. 예를 들어 우리는 갈색 머리가 유방암 발병과 관련이 없다고 생각할 수 있지만 인체의 생리는 너무 복잡해서 어떤 의사도 감히 그런 말을 하지 못할 것입니다.
그러나 두 사건이 독립적인지 여부를 쉽게 식별할 수 있는 간단한 실험이 많이 있습니다.
- 동시에 두 개의 주사위를 던집니다. 두 개의 주사위를 굴릴 때, 하나의 결과는 다른 주사위에 나타날 수 있는 결과에 어떤 식으로든 영향을 미치지 않으므로 하나의 주사위가 주어진 숫자에 도달하는 이벤트는 다른 주사위가 다른 숫자에 도달하는 이벤트와 독립적입니다. 똑같아, 심지어.
- 같은 주사위를 연속으로 두 번 굴린 결과 도 같은 이유로 서로 독립적입니다.
- 동전을 두 번 던집니다. 처음에 앞면이나 뒷면이 나왔다는 사실은 다음 던지기의 결과에 영향을 미치지 않습니다.
- 별도의 원자재와 노동력을 사용하는 구성 요소에 대해 두 개의 독립적인 생산 라인이 있는 냉장고 공장에서는 두 구성 요소 중 하나가 실패할 확률이 다른 하나가 실패할 확률과 무관하다고 가정할 수 있습니다 .
- 덱에서 카드나 덱을 무작위로 뽑고 교체한 다음, 덱에서 다른 카드를 무작위로 뽑는 것은 별도의 이벤트입니다. 덱의 원래 카드를 교체하면 원래 카드를 뽑을 확률이 재설정되기 때문입니다.
독립적이지 않은 이벤트의 예
- 덱에서 카드 또는 덱을 무작위로 뽑은 다음 첫 번째 카드를 교체하지 않고 같은 덱에서 다른 카드를 뽑는 것은 독립적인 이벤트가 아닙니다. 다른 카드가 나옵니다. 또한 첫 번째 카드를 교체하지 않으면 두 번째 카드가 나올 확률은 0이 됩니다.
- 달리는 자동차에서 자동차의 엔진이 과열될 확률과 엔진을 냉각시키는 워터 펌프가 고장날 확률은 독립적인 사건이 아닙니다.
- 이해하기 더 쉬운 예는 통계학에서 좋은 성적을 받는 것은 공부와 별개가 아니라는 것입니다 . 공부를 하면 좋은 성적을 받을 가능성이 더 높아지기 때문입니다.
독립 사건에 대한 곱셈 규칙을 사용한 확률 계산의 예
예 1: 동전을 두 번 던지기
동전을 두 번 던질 때 결과가 모두 앞면일 확률을 계산하고 싶다고 가정합니다.
첫 번째 던지기가 앞면이 되는 사건을 A라고 하고 두 번째 던지는 것이 앞면이 나오는 사건을 B라고 하면 두 사건이 모두 일어나기를 원하기 때문에 계산해야 할 확률은 A와 B가 교차할 확률입니다. . 즉, 미지수는 P(A∩B)입니다.
각 던지기에 대해 가능한 결과가 두 가지뿐이므로 두 이벤트가 발생할 확률은 동일합니다.
이제 이벤트가 독립적이라는 것을 알고 있으므로 곱셈 규칙을 사용하여 교차 확률을 결정할 수 있습니다.
예 2: 두 개의 주사위 던지기
일반적인 6면체 주사위 두 개를 굴렸을 때 그 중 하나가 하나에 떨어지고 두 번째가 짝수에 떨어질 확률을 계산해 봅시다.
다음 사건을 A와 B라고 하자.
A = 주사위 중 하나가 1에 떨어졌습니다.
B = 주사위 중 하나가 짝수에 도달합니다.
다시 계산하려는 것은 P(A∩B)입니다.
각 주사위의 결과는 다른 주사위의 숫자와 독립적이므로 독립 이벤트에 대한 곱셈 규칙을 사용하여 P(A∩B)를 계산할 수 있습니다. 하지만 먼저 A와 B의 확률이 필요합니다.
주사위에는 1부터 6까지의 숫자가 반복되지 않는 6개의 면이 있습니다. 따라서 1은 하나만 있고 짝수는 3개, 즉 2, 4, 6이 있습니다. 따라서 개별 사건이 발생할 확률은 다음과 같습니다.
이러한 확률과 곱셈 규칙을 사용하여 원하는 확률을 얻습니다.
예 3: 실패한 부품
컴퓨터 장비를 만드는 공장은 다른 구성 요소 중에서 서로 다른 두 제조업체의 서로 다른 두 칩 또는 집적 회로를 사용합니다. 첫 번째 칩의 제조업체에 따르면 정상적인 작동 조건에서 고장날 확률은 0.00133입니다. 두 번째 제조업체는 5,000개의 장치가 설치될 때마다 두 개의 칩만 고장난다고 자랑합니다. 공장 소유주는 두 부품이 동시에 고장날 확률을 찾고자 합니다. 각 칩 브랜드의 실패는 서로 독립적인 것으로 간주할 수 있습니다.
이 경우 명령문 자체에서 두 이벤트가 독립적임을 지정하므로 위의 곱셈 규칙을 사용할 수 있습니다. 또한 첫 번째 칩 고장 확률도 제공되며 이를 이벤트 A라고 합니다. 두 번째 칩 고장 확률(이벤트 B)은 제조업체에서 제공한 정보에서 계산할 수 있습니다.
따라서 두 구성 요소가 동시에 실패할 확률은 다음과 같습니다.
참조
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곱셈법칙(확률) [예제] . (일차). Fhybea. https://www.fhybea.com/multiplication-rule.html
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