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수학에서 소수는 정수를 공부할 때 공통적으로 다루는 주제 중 하나입니다. 소수는 무한하기 때문에 그들과 함께 연습하는 흥미로운 연습은 무작위로 선택한 1에서 X까지의 숫자가 소수일 확률이 얼마인지 알아내는 것입니다.
소수란 무엇인가
소수는 1과 그 자체, 즉 문제의 숫자로만 나누어지는 수입니다. 즉, 다른 숫자로 나누면 결과가 정수가 되지 않습니다. 또한 소수의 개수는 무한하다고 여겨진다.
합성수는 소수와 달리 1, 자기 자신, 다른 숫자로 나눌 수 있는 숫자입니다.
숫자 1은 소수로 간주되지 않으며 합성수도 아닙니다.
소수와 에라토스테네스 체
모든 소수를 빨리 찾기 위해 그리스 수학자 에라토스테네스(기원전 3세기)는 모든 소수를 특정 숫자까지 얻는 빠른 방법을 만들었습니다. 이 방법은 “에라토스테네스 체”로 알려져 있습니다.
에라토스테네스 체는 주어진 자연수보다 작은 모든 소수를 알 수 있는 알고리즘입니다. 이를 위해 2와 선택된 숫자(n) 사이의 모든 자연수로 테이블이 생성됩니다. 이 예에서 n은 100입니다.
그런 다음 소수가 아닌 숫자는 줄을 긋습니다. 먼저 2부터 시작하여 모든 배수를 지웁니다. 교차되지 않은 숫자가 발견되면 모든 배수가 지워지는 식입니다. 소수로 확인된 다음 숫자의 제곱이 “n”보다 큰 경우 이 절차가 종료됩니다.
에라토스테네스 체를 사용하여 0에서 100 사이의 25개의 소수(2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61)를 얻습니다. , 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.
소수의 다른 예
100과 1000 사이의 소수의 다른 예는 다음과 같습니다. , 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293, 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349 , 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397, 401, 409, 419, 421, 431, 433, 439, 443, 449, 457, 461, 463, 467, 479, 487, 491, 499 , 503, 509, 521, 523, 541, 547, 557, 563, 569, 571, 577, 587, 593, 599, 601, 607, 613, 617, 619, 631, 641, 643, 647, 653, 659 , 661, 673, 677, 683, 691, 701, 709, 719, 727, 733, 739, 743, 751, 757, 761, 769, 773, 787, 797, 809, 811, 821, 823, 827, 829 , 839, 853, 857, 859, 863, 877, 881, 883, 887, 907, 911, 919, 929, 937, 941, 947, 953, 967, 971, 977, 983, 991 및 997.
소수 문제
수학에서 거의 항상 그렇듯이 소수 계산 방법을 이해하는 가장 좋은 방법은 문제를 해결하는 것입니다. 이제 어떤 확률로 소수를 선택할 수 있는지 알아보는 간단한 문제를 봅시다.
먼저 1, 2, 3 등이 될 수 있는 양의 정수를 특정 숫자 X까지 선택할 것입니다. 그런 다음 이 숫자 중 하나를 무작위로 선택해야 합니다. 이는 모든 X 숫자가 선택될 확률이 있음을 의미합니다.
이 문제에 대한 해결책은 낮은 숫자 X에 대해 간단합니다. 문제는 다음 단계에 따라 해결됩니다.
- 첫 번째 단계:
- X보다 작거나 같은 소수의 수를 센다.
- 두번째 단계:
- X보다 작거나 같은 소수의 수를 수 X 자체로 나눕니다.즉, 1부터 10까지의 특정 소수를 선택할 확률을 알려면 소수의 수를 10으로 나누어야 합니다.
예를 들어, 1에서 10까지의 소수가 선택될 확률을 찾으려면 소수의 수를 10으로 나누어야 합니다. 소수는 4/10 = 0.4, 즉 40%입니다.
같은 방식으로 1에서 50까지의 소수가 선택될 확률을 알고 싶다면 이전 단계를 수행할 수 있습니다. 50보다 작은 소수인 15: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47을 세고 이 값을 다음과 같이 나눕니다. 50: 15 /50 = 0.3, 즉 30%. 따라서 1에서 50까지의 소수 중 하나를 고를 확률은 30%입니다.
소수정리란 무엇인가
특정 숫자까지의 소수를 알고 그 중 하나를 선택할 확률을 계산하는 또 다른 방법은 소수 정리를 사용하는 것입니다 . 이 정리는 18세기에 독일의 수학자 가우스에 의해 발표되었고 거의 1세기 후에 프랑스의 자크 아다마르와 벨기에의 샤를-장 드 라 발레 푸생과 같은 다른 수학자에 의해 입증되었습니다.
소수 정리(Prime Number Theorem)는 X보다 작거나 같은 소수의 약 X / ln(X)가 있다고 말합니다. 이 문장에서:
- ln(X): X의 자연 로그입니다.
- X: 소수를 알고자 하는 숫자입니다.
X의 값이 증가함에 따라 X보다 작은 소수의 수와 명제 X / In(X) 사이의 상대 오차는 감소합니다.
소수 정리를 적용하는 방법
소수 정리를 사용하면 이전 문제와 유사한 문제를 해결할 수 있습니다. 특히 더 많은 양의 소수 중에서 소수를 알고자 할 때 더욱 그렇습니다.
소수 정리에 의해 우리는 대략 X보다 작거나 같은 소수 X/ln(X)가 있음을 알고 있습니다. 또한 X보다 작거나 같은 총 X개의 양의 정수가 있습니다. 따라서 확률은 다음과 같습니다. 이 범위에서 무작위로 선택된 숫자가 소수라는 것은 다음과 같습니다: ( X / ln(X) ) / X = X / ( ln(X) . X ) = 1 / ln(X).
예를 들어, 그 결과를 사용하여 처음 백만 개의 정수 중에서 임의로 소수를 선택할 확률을 대략적으로 계산할 수 있습니다.
이를 위해서는 백만의 자연 로그를 계산해야 합니다. 따라서 다음이 있습니다.
P(1,000,000) = (X/ln(X) / X = 1 / ln(X)
P(1,000,000) = 1 / ln(1,000,000)
따라서 ln(1,000,000) = 13.8155가 되고 1/ln(1,000,000)은 약 0.07238이 됩니다. 따라서 처음 백만 개의 정수에서 무작위로 소수를 선택할 확률은 약 7.238%입니다.
서지
- López Mateos, M. 기본 수학. (2017). 스페인. CreateSpace.
- dk. 수학책. (2020). 스페인. dk.
- Gracian, E. 소수: 무한대까지의 먼 길. (2010). 스페인. RBA 책.
