산술적 계산이나 대수적 표현을 포함하는 기호의 조합 중에서 세 가지 기호를 찾는 것이 일반적이며 종종 혼동되어 사용됩니다. 괄호( ), 대괄호 [ ] 및 중괄호 { }. 아이디어를 수정하기 위한 몇 가지 예와 함께 각각의 특정 응용 프로그램이 무엇인지 살펴보겠습니다.
괄호( )는 계산 또는 대수 방정식에서 숫자와 변수를 그룹화하는 데 사용됩니다. 다양한 산술 연산 중에 괄호를 발견하면 수행해야 하는 순서를 알려주는 것입니다. 다른 표시가 없으면 곱셈과 나눗셈이 덧셈과 뺄셈보다 우선하고 지수가 곱셈과 나눗셈보다 우선한다는 것을 기억합시다. 우선 순위가 같은 작업을 수행해야 하는 경우 계산은 수학식에서 왼쪽에서 오른쪽으로 진행됩니다. 다음 예제에서 작업 순서를 나타내는 괄호의 역할을 살펴보겠습니다.
9 – 5 ÷ (8 – 3) × 2 + 6
괄호는 산술 연산이 수행되는 일반적인 우선 순위를 고려하지 않고 해당 공간에서 제안된 연산을 먼저 수행해야 함을 알려줍니다. 이 예에서 곱셈과 나눗셈 연산은 빼기 전에 수행되어야 하지만 연산 8 – 3이 괄호로 묶여 있기 때문에 이 계산을 먼저 수행해야 합니다. 괄호 안의 모든 계산이 수행되면(이 경우에는 8 – 3만) 제거되고 일반적인 우선 순위로 다른 작업을 진행합니다. 이 경우 (8 – 3)은 5로 대체되며 이 계산의 해결 순서는 다음과 같습니다.
9 – 5 ÷ (8 – 3) × 2 + 6 = 9 – 5 ÷ 5 × 2 + 6
9 – 5 ÷ 5 × 2 + 6 = 9 – 1 × 2 + 6
9 – 1 × 2 + 6 = 9 – 2 + 6
9 – 2 + 6 = 7 + 6
7 + 6 = 13
또한 괄호는 이것이 곱셈 연산임을 암시적으로 나타냅니다. 예를 들어 식 3(2 + 5)에서 괄호는 더하기가 먼저 괄호 안의 공간 2 + 5 안에서 수행되어야 함을 나타냅니다. 그러나 3과 괄호 안 공간 사이에는 명시적인 연산이 없으므로 다음과 같습니다. 곱하기로 가정합니다. 두 개의 괄호가 있는 보다 일반적인 경우는 (6 –3)(2 + 3) 식입니다. 다시 말하지만, 먼저 괄호 사이의 공간, 즉 6 – 3과 2 + 3에서 두 개의 계산을 풀어야 합니다. 그런 다음 두 결과의 곱을 수행해야 한다고 가정합니다. 명확성을 위해 계산을 개발해 봅시다.
(6 – 3)(2 + 3) = (6 – 3) × (2 + 3)
(6 – 3) × (2 + 3) = (3) × (3)
(3) × (3) = 3 × 3
3 × 3 = 9
괄호는 계산이나 대수 방정식에서 숫자와 변수를 그룹화할 필요가 있지만 괄호가 이미 사용된 경우에도 사용됩니다. 즉, 이미 그룹화된 공간에서 숫자와 변수를 그룹화해야 하는 경우 내부 그룹은 괄호로, 외부 그룹은 대괄호로 표시합니다. 동일한 공간에 또 다른 3차 그룹화가 필요한 경우 중괄호가 사용됩니다. 중첩된 괄호라고도 하는 시퀀스는 다음 순서를 따릅니다. { [ ( ) ] }
괄호와 대괄호를 결합한 수학적 표현의 예를 살펴보겠습니다. 괄호의 경우와 마찬가지로 괄호 옆에 명시적인 연산이 없으면 곱셈으로 간주합니다.
4 – 3[4 – 2(6 – 3)] ÷ 3
이 식에서 먼저 괄호 안의 연산을 풀어야 합니다.
4 – 2(6 – 3)
이 식에는 괄호로 표시된 우선 순위가 있습니다. 먼저 차이 6 – 3을 풀어야 합니다. 계산 시퀀스의 전체 개발을 살펴보겠습니다.
4 – 3[4 – 2(6 – 3)] ÷ 3 = 4 – 3 × [4 – 2 × (6 – 3)] ÷ 3
4 – 3 × [4 – 2 × (6 – 3)] ÷ 3 = 4 – 3 × [4 – 2 × (3)] ÷ 3
4 – 3 × [4 – 2 × (3)] ÷ 3 = 4 – 3 × [4 – 6] ÷ 3
4 – 3 × [4 – 6] ÷ 3 = 4 – 3 × [-2] ÷ 3
4 – 3 × [-2] ÷ 3 = 4 + 6 ÷ 3
4 + 6 ÷ 3 = 4 + 2
4 + 2 = 6
이제 세 기호를 결합한 예를 살펴보겠습니다.
2{1 + [4(2 + 1) + 3]}
이미 언급했듯이 일반적인 규칙은 중첩된 괄호를 안쪽에서 바깥쪽으로 해결하는 것입니다. 계산 순서를 봅시다.
2{1 + [4(2 + 1) + 3]} = 2 × {1 + [4 × (2 + 1) + 3]}
2 × {1 + [4 × (2 + 1) + 3]} = 2 × {1 + [4 × (3) + 3]}
2 × {1 + [4 × (3) + 3]} = 2 × {1 + [12 + 3]}
2 × {1 + [12 + 3]} = 2 × {1 + [15]}
2 × {1 + [15]} = 2 × {16}
2 × {16} = 32
괄호, 괄호 및 중괄호는 종종 각각 둥근 괄호, 대괄호 및 중괄호라고도 합니다. 일부 식에서는 중첩된 계산 공간이 여러 개 있는 경우에도 괄호만 사용됩니다. 이것은 특히 중첩이 세 수준보다 클 때 수행되며, 이 경우 중첩 수준을 구분하는 기호가 더 이상 없습니다. 괄호만 사용하는 경우 중첩에서 괄호 사이의 첫 번째 공백을 식별하고 해결한 후 다음 단계로 진행하도록 특별한 주의를 기울여야 합니다.
분수
Samuel Selzer, 대수학 및 분석 기하학. 두번째 버전. 부에노스 아이레스, 1970.