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논리는 수학의 한 분야이며 그 일부는 집합 이론입니다. De Morgan의 법칙은 집합 간의 상호 작용에 대한 두 가지 가정입니다. 이 법칙은 아리스토텔레스와 오컴의 윌리엄의 선례를 기록합니다. 아우구스투스 드 모르간(Augustus De Morgan)은 1806년에서 1871년 사이에 살았으며 수리 논리의 형식적 구조에 그가 가정한 법칙을 최초로 포함시켰습니다.
집합 이론의 연산자
De Morgan의 가정으로 이동하기 전에 집합 이론의 몇 가지 정의를 살펴보겠습니다.
A와 B라고 부르는 두 개의 요소 집합이 있는 경우 이 두 집합 의 교집합 은 두 집합에 공통인 요소 집합입니다. 두 집합의 교집합은 기호 ∩로 표시되며 C라고 부를 수 있는 또 다른 집합입니다. C = A∩B이고, C는 그룹 A와 그룹 B 모두에 나타나는 요소의 집합입니다. 마찬가지로 두 집합 A와 B의 합집합은 A와 B의 모든 요소를 포함하는 새로운 집합이며 다음과 같이 표시됩니다. 기호 U. 집합 C, A와 B의 합집합, C = AUB는 A와 B의 모든 원소를 통합한 집합입니다. 우리가 기억해야 할 세 번째 정의는 집합의 여집합입니다 . : 우리가 어떤 원소들의 우주와 이 우주의 집합 A를 가지고 있다면, A의 여집합은 집합 A에 속하지 않는 그 우주의 원소들의 집합입니다. A의 여집합은 A C 로 표시 됩니다 .
집합 간의 이 세 가지 연산자는 여러 집합 간의 연산, 즉 여러 집합의 교집합, 합집합 및 여집합으로 일반화할 수 있습니다. 간단한 예를 살펴보겠습니다. 다음 그림은 앵무새, 타조, 오리, 펭귄으로 대표되는 새, 세 세트의 벤다이어그램을 보여줍니다. 앵무새, 오리, 나비, 날치로 대표되는 날아다니는 생물과 오리, 펭귄, 날치, 고래로 대표되는 헤엄치는 생물. 오리는 세 집합의 교차 집합입니다. 날아다니는 새와 생명체의 합집합은 타조, 앵무새, 나비, 오리, 펭귄, 날치로 구성됩니다. 그리고 날아다니는 생물과 헤엄치는 생물을 보완하는 것은 타조를 포함하는 세트입니다.
드 모건의 법칙
이제 우리는 De Morgan의 법칙의 가정을 볼 수 있습니다. 첫 번째 가정은 두 집합 A와 B의 집합 교집합의 여집합이 A의 여집합과 B의 여집합의 집합 합집합과 같다고 말합니다. 이전 단락에서 정의한 연산자를 사용하여 De Morgan의 첫 번째 법칙을 다음과 같이 작성할 수 있습니다. 다음과 같은 방법:
(A∩B) C = A C UB C
De Morgan의 두 번째 법칙은 A와 B의 합집합의 여집합이 A의 여집합과 B의 여집합의 교집합과 같다고 가정하고 다음과 같이 설명합니다.
(AUB) C = A C ∩ B C
예를 보겠습니다. 0에서 5까지의 정수 집합을 고려하십시오. 이것은 [0,1,2,3,4,5]로 표시됩니다. 이 우주에서 우리는 두 집합 A와 B를 정의합니다. A는 숫자 1, 2, 3의 집합입니다. A = [1,2,3]. YB는 숫자 2, 3, 4의 집합입니다. B = [2,3,4]. De Morgan의 첫 번째 법칙은 다음과 같이 적용됩니다.
A = [1,2,3]; B = [2,3,4]
De Morgan의 첫 번째 법칙: (A∩B) C = A C UB C
(A∩B) C
A∩B = [1,2,3]∩[2,3,4] = [2,3]
(A∩B) C = [2,3] C = [0,1,4,5]
A C UB C
A C = [1,2,3] C = [0,4,5]
BC = [2,3,4] C = [0,1,5]
A C UB C = [0,4,5]U[0,1,5] = [0,1,4,5]
등식의 양쪽에 연산자를 적용한 결과 De Morgan의 제1법칙이 검증되었음을 알 수 있다. 두 번째 공준에 대한 예의 적용을 살펴보겠습니다.
De Morgan의 두 번째 법칙: (AUB) C = A C ∩ B C
(AUB) C
AUB = [1,2,3]U[2,3,4] = [1,2,3,4]
(AUB) C = [1,2,3,4] C = [0,5]
A C ∩ B C
A C = [1,2,3] C = [0,4,5]
BC = [2,3,4] C = [0,1,5]
A C ∩ B C = [0,4,5]∩[0,1,5] = [0,5]
첫 번째 가정과 마찬가지로 주어진 예에서 De Morgan의 두 번째 법칙도 적용됩니다.
출처
AG 해밀턴. 수학자를 위한 논리. 편집 Paraninfo, 마드리드, 1981.
카를로스 이보라 카스티요. 논리 와 집합론 . 2021년 11월 액세스
