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통계에서 여러 가지 다른 이벤트의 결합 확률을 계산하려는 상황에 직면하는 것은 매우 일반적입니다. 예를 들어, 사탕 가게의 주인은 자신의 가게에 들어오는 다음 어린이가 화이트 초콜릿 바 또는 밀크 초콜릿 바를 구매할 확률이 얼마인지 결정하는 데 관심이 있을 수 있습니다. 이 경우 두 가지 가능한 이벤트 중 하나가 발생할 확률을 결정하려고 합니다. 집합 이론에 따르면 두 이벤트의 합집합 확률 또는 P(AUB)입니다.
설명된 경우에서 이 확률의 계산은 단순히 개별 확률의 합계에서 두 이벤트 사이의 교차 확률을 뺀 값으로 구성됩니다.
교차 확률을 빼야 하는 이유는 두 이벤트의 확률을 더하면 모든 교차가 두 번 계산되기 때문입니다. 이것은 이해하기 비교적 간단한 과정입니다. 그러나 두 개가 아니라 세 개 이상의 이벤트에 대한 합집합 확률을 결정하려는 경우도 발생할 수 있습니다. 이러한 경우 어떻게 해야 합니까? 다음 섹션에서는 3개 사건 및 4개 사건 사례에 적용할 수식을 결정하는 간단한 방법을 살펴본 다음 위의 수식과 함께 이러한 결과를 사용하여 합집합 확률의 결정을 일반화합니다. 여러 이벤트에 대해 이벤트.
기본 복습
합집합 확률을 계산하는 과정을 이해하려면 나중에 사용하게 될 몇 가지 중요한 용어를 간단히 상기할 필요가 있습니다.
실험 . 확률적으로 실험은 여러 번 반복될 수 있고 항상 결과를 생성하는 프로세스입니다. 각 실험은 항상 동일할 특정 가능한 결과 집합과 연결됩니다.
결과 . 우리는 주사위를 던질 때 나오는 특정 얼굴과 같이 실험의 결과를 결과라고 부를 것입니다.
샘플 공간(S) . 실험의 가능한 모든 결과의 집합입니다.
이벤트 . 모든 가능한 결과 세트.
벤 다이어그램 . 실험에서 일련의 사건과 사건의 확률 사이의 관계를 보여주는 그래픽 표현.
세 사건의 합집합 확률
우리가 실험을 수행하고 동시에 발생할 수도 있고 일어나지 않을 수도 있는 3**3세 가지 다른 사건 중 하나의 발생 확률을 결정하려고 한다고 가정합니다. 이 세 사건을 A, B, C라고 부르겠습니다.
이러한 경우 여러 가지 상황이 발생할 수 있습니다. 예를 들어 어떤 이벤트도 다른 이벤트와 결과를 공유하지 않는 경우가 발생할 수 있습니다. 이 경우 이벤트는 상호 배타적이라고 합니다. 이는 다음 벤 다이어그램에 예시되어 있습니다.
원 A, B 및 C는 세 가지 이벤트를 나타내며 문자 S로 식별되는 회색 사각형인 샘플 공간 내의 결과 집합을 포함합니다. 이러한 경우 합집합 확률은 단순히 각 이벤트의 확률 합계로 제공됩니다. 별도의 이벤트:
한편, 이벤트 중 하나는 다른 두 이벤트 중 하나 또는 둘 모두와 결과를 공유할 수도 있습니다. 이것은 벤 다이어그램에서 서로 교차하는 영역으로 설명됩니다.
이 경우 확률의 합은 일부 결과를 두 번 이상 고려하므로 초과 계산된 이러한 확률을 빼야 합니다. 즉, 각 이벤트 쌍 사이의 교차 확률을 빼야 합니다. 그러나 세 가지 이벤트 모두에 결과가 있는 경우(예: 위의 벤 다이어그램 중앙에 있는 경우) 쌍의 교차점을 빼면 쌍이 교차하는 중심 영역의 기여도가 제거됩니다. 이러한 이유로 A, B 및 C의 교차 확률에 해당하는 이 작은 영역을 다시 추가해야 합니다.
마지막으로 세 사건의 합집합 확률은 다음과 같습니다.
참고: 이 표현은 세 가지 사건이 서로 교차하는 특정 경우에 대해 언급되었지만 교차 여부에 관계없이 세 가지 사건 집합의 합집합 확률로 변환될 수 있으므로 세 가지 사건 사례의 보다 일반적인 형태입니다. 아니면. 예를 들어, 상호 배타적인 사건의 경우 모든 교차 확률이 0이므로 표현식은 이 섹션의 시작 부분에 표시된 개별 확률의 합으로 축소됩니다.
네 가지 사건의 합집합 확률
이제 우리가 새로운 실험을 수행하고 A, B, C 및 D의 네 가지 이벤트 사이의 결합 확률에 관심이 있다고 가정합니다. 가장 일반적인 경우는 다음 다이어그램에 표시된 것처럼 모두 서로 교차할 수 있다는 것입니다.
이 경우 4개의 단순 확률의 합은 영역 I에 포함된 결과의 확률의 4배, II, III, IV 및 V 영역의 확률의 3배, VI, VII, VIII 및 영역의 확률의 2배로 계산됩니다. IX. 이를 수정하려면 먼저 모든 쌍(A와 B, A와 C, A와 D, B와 C, B와 D, C와 D)의 교차 확률을 빼야 합니다. 이렇게 하면 각 세 그룹(ABC, ABD, ACD 및 BCD)의 교차 영역을 너무 많이 빼므로 이러한 영역을 다시 추가해야 하며 모든 영역이 한 번 계산될 때까지 계속됩니다.
상호 배타적이든 아니든 네 가지 이벤트의 경우 결과는 다음과 같습니다.
4개 이상의 이벤트의 합집합 확률
지금까지 우리는 이미 2, 3, 4개의 사건의 합집합 확률에 대한 공식 사이의 패턴을 감지할 수 있습니다. 그들은 모두 단순 확률의 합으로 시작한 다음 가능한 모든 사건 쌍 사이의 교차 확률을 뺀 다음 세 가지 사건의 가능한 각 그룹의 교차 확률을 더하고 교대로 교차점을 더하고 뺍니다. 모든 이벤트의 교차점에 도달할 때까지 더 많은 이벤트. 이벤트 수가 짝수인 경우 이 마지막 교차는 항상 음수(빼기)인 반면 이벤트 수가 홀수인 경우 항상 양수(더하기)입니다.
참조
- Arrizabalaga R., M. (2015년 9월). 확률 이론 . 자치 멕시코 주립 대학. https://core.ac.uk/download/pdf/55528069.pdf
- 드보어, J. (2002). 공학 및 과학에 대한 확률 및 통계 (5판). 톰슨인터내셔널.
- Manuel, M. (2020년 7월 1일). 사건 연합의 확률 . 쉬운 수학. https://lasmatesfaciles.com/2020/06/29/probabilidad-de-la-union-de-sucesos/
- M. 마르타 (2021년 3월 27일). 사건이나 사건의 합집합 . 슈퍼프로프 https://www.superprof.es/apuntes/escolar/matematicas/probabilidades/combinatoria/union-de-sucesos.html
