기하학적 모양의 면적과 부피를 계산하는 공식

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구의 면적과 부피를 계산하는 공식은 다음과 같습니다.

  • 표면 = 4πr 2
  • 부피 = (4/3)πr 3

2. 원뿔의 면적과 부피 계산

고양이
밑면 반지름 r과 높이 h의 원뿔

원뿔은 밑면이 원형인 피라미드로, 기울어진 변이 원뿔의 밑면을 구성하는 원주의 중심을 통과하는 밑면의 평면에 수직인 선인 원뿔 축의 중심점에서 만나고, 그림과 같이 위의 그림에서 볼 수 있습니다. 표면적이나 부피를 계산하려면 밑변의 반지름 r 과 변의 길이 s를 알아야 합니다 . 변 길이 s 의 값을 알 수 없는 경우 원뿔 h 의 높이를 알면 계산할 수 있습니다 (위 그림 참조).

s = √ (r 2 + h 2 )

콘의 총 표면적은 밑면의 면적과 측면의 면적의 합으로 계산할 수 있습니다.

  • 기본 영역: πr 2
  • 측면 영역: πrs
  • 전체 면적 = πr  + πrs

원뿔의 부피를 계산하려면 밑면의 반지름과 높이만 있으면 됩니다.

  • 부피 = 1/3 πr 2h

3. 실린더의 표면적과 부피 계산

실린더
베이스 반지름이 r이고 높이가 h인 실린더

표면 및 체적 계산은 원뿔보다 원통에서 더 쉽습니다. 실린더는 원형 베이스를 가지며 회전할 때 측면을 생성하는 선은 베이스에 평행하고 수직입니다. 표면적이나 부피를 계산하려면 반지름 r  과 높이 h 만 있으면 됩니다 .

원뿔의 경우와 마찬가지로 표면적은 원뿔을 구성하는 표면의 합입니다. 상부 기저부와 하부 기저부의 면적 (동일한)과 측면 면적의 합.

  • 표면 = 2πr 2  + 2πrh
  • 부피 = πr 2h

4. 직사각기둥의 표면과 부피 계산

직사각형 프리즘
측면 a, b 및 c의 직사각형 프리즘

3차원으로 펼쳐진 직사각형은 직사각형 프리즘이 됩니다. 아니면 그냥 상자. 직각기둥의 모든 면이 같을 때 프리즘은 정육면체가 됩니다. 따라서 표면적과 부피는 모두 동일한 공식으로 계산됩니다. 이를 위해서는 프리즘의 세 면의 크기를 알아야 합니다. 위 그림에서 a, b 및 c.

  • 면적 = 2(ab) + 2(bc) + 2(ac)
  • 부피 = abc

면이 a 인 정육면체가 있으면 이전 공식은 다음과 같습니다.

  • 입방체 면적 = 6a 2
  • 정육면체의 부피 = 3

5. 밑면이 정사각형인 피라미드의 면적과 부피 계산

정사각형 기본 피라미드
측면 b 높이 h의 사각 밑면 피라미드

이 경우 정사각형 밑면과 면에 정삼각형이 있는 피라미드의 표면적과 부피를 계산하는 데 사용되는 공식을 볼 수 있습니다 . 계산을 위해서는 밑변의 제곱 b 와 높이 h 를 알아야 합니다 . 이것은 위의 그림과 같이 밑변의 제곱의 중심에서 꼭지점까지의 거리입니다. 그리고 s는 피라미드의 면을 구성하는 각 정삼각형의 높이가 될 것이며 다음 공식으로 계산할 수 있습니다.

s = √ ((b/2) 2 + h 2 )

앞의 경우와 마찬가지로 표면의 면적은 밑면의 면적과 면의 정삼각형 4개의 면적을 합한 것입니다.

  • 표면 = 2bs + b 2
  • 볼륨 = (1/3) b 2h

6. 이등변삼각기둥의 표면적과 부피 계산

프리즘
변 b 길이 l의 이등변 삼각형 프리즘

이등변 삼각형 프리즘의 표면적과 부피를 계산하는 공식을 적용하려면 위의 그림에 따라 세 가지 매개 변수가 필요합니다. 이등변삼각형의 밑변 b , 삼각형의 높이 h 및 프리즘의 길이 l . 정의는 이등변 삼각형의 측면 s 로 완료됩니다. 삼각형의 변 s는 다음 공식을 사용하여 삼각형의 다른 데이터에서 계산할 수 있습니다.

s = √ ((b/2) 2 + h 2 )

표면적과 부피를 계산하는 공식은 다음과 같습니다.

  • 넓이 = bh + 2 l s + l b
  • 부피 = (1/2)bh l

이등변 삼각형이 아닌 프리즘의 표면적과 부피를 계산하려면 다음 절차를 적용할 수 있습니다. 밑면의 면적 A 와 둘레 P를 결정하고 다음 공식을 사용할 수 있습니다.

  • 표면 = 2A + P1
  • 부피 = Al

7. 원형 섹터의 면적 및 길이 계산

순환 부문
반지름 r과 각도 θ 의 원형 섹터

위 그림은 각도 θ 로 정의되는 반지름이 r 인 원의 부채꼴을 보여줍니다 . 이 각도는 도 또는 라디안으로 표시할 수 있습니다. 원형 부채꼴의 넓이와 호의 길이를 계산하기 위해서는 각도 θ를 라디안으로 표현해야 하므로 도 단위로 표현한다면 다음 공식을 이용하여 환산해야 한다.

라디안의 각도 θ = ( 도의 각도 θ ) π /180

원형 섹터의 면적과 호의 길이는 다음 공식으로 계산됩니다.

  • 면적 = (θ/2) r 2  θ 라디안 단위
  • 원호 L = θr   θ (라디안 단위)

원의 면적과 원주는 각도 θ가 와 같을 때 발생하는 부채꼴의 특별한 경우입니다 . 따라서 원의 넓이와 둘레는 다음과 같이 계산됩니다.

  • 원의 면적 = π r 2 
  • 둘레 = 2πr

8. 타원의 면적 계산

타원
반축 a 및 b의 타원

타원이라고도 하며 길쭉한 원으로 식별할 수 있는 타원은 초점이라고 하는 두 고정 점까지의 거리의 합이 일정한 점 집합입니다. 위의 그림에서 초점은 두 점으로 표시됩니다. 타원은 그림과 같이 두 개의 반축으로 정의할 수 있습니다. 반장축 a 및 반단축 b . 타원의 면적은 다음 공식으로 계산됩니다.

  • 면적 = πab

9. 삼각형의 면적과 둘레 계산

삼각형
삼각형 밑면 b 높이 h

삼각형은 가장 단순한 기하학적 모양 중 하나이며 각 변의 길이 a, b 및 c를 알면 둘레 계산이 쉽습니다 . 

  • 둘레 = a + b + c

삼각형의 면적을 계산하려면 측면 중 하나의 길이가 필요합니다.  예를 들어 위의 그림에서 b 와 해당 측면에 해당하는 높이 h는  반대쪽 꼭지점 수직선에서 그린 세그먼트의 길이로 결정됩니다. 옆으로 b . 삼각형의 면적은 다음과 같이 계산됩니다.

  • 면적 = (1/2)bh

10. 평행사변형의 면적과 둘레 계산

평행사변형
밑변 b 높이 h의 평행사변형

평행사변형은 위의 그림과 같이 대변이 평행한 사각형입니다. 마주보는 변이 평행하기 때문에 마주보는 변의 길이도 같습니다. 그림의 경우 길이 ab 의 변입니다 . 평행사변형의 둘레는 변의 합입니다.

  • 평행사변형의 둘레 = 2a + 2b

평행 사변형의 면적을 계산하려면 높이 h가 필요합니다 . 평행한 두 변 사이의 거리. 면적은 높이와 그 높이에 해당하는 측면으로 계산할 수 있습니다.  그림의 경우 b 입니다.

  • 평행 사변형의 면적 = bh

사각형은 평행사변형의 특별한 경우입니다. 높이 h가a 와 같거나 같은 경우 인접한 변이 수직일 때 평행사변형은 직사각형이고 둘레와 넓이의 공식은 다음과 같습니다.

  • 직사각형의 둘레 = 2a + 2b 
  • 직사각형의 면적 = ab

차례로 정사각형은 평행사변형과 직사각형의 특별한 경우입니다. 변 ab가 같고 인접한 변이 수직일 때. a변이 있는 정사각형의 둘레와 넓이 공식은 다음 과 같습니다.

  • 정사각형 둘레 = 4a 
  • 직사각형의 면적 = a 2

11. 사다리꼴의 면적과 둘레 계산

소스 이미지 보기
주 밑면 B, 부 밑면 b 및 높이 h가 있는 사다리꼴

사다리꼴은 마주보는 두 변이 평행한 사변형입니다. 따라서 네 변의 길이가 다르며 위의 그림에서 b , B , cd 이며 둘레를 계산하려면 네 가지 값을 알아야 합니다. 사다리꼴의 둘레는 네 값을 더하여 계산됩니다.

  • 둘레 = b + B + c + d

 사다리꼴의 면적을 계산하려면 위 그림에서 관찰할 수 있는 높이 h를 알아야 하며 , 이는 평행한 두 변 사이의 거리입니다.

  • 면적 = (1/2) (b + B)h

12. 정육각형의 면적과 둘레 계산

r변의 정육각형
r변의 정육각형

6개의 변이 같은 다각형은 정육각형입니다. 각 변의 길이 r은 육각형의 중심에서 각 꼭지점까지의 거리와 같습니다. apothem( 위 그림의 a )은 육각형의 중심에서 측면 중 하나까지의 가장 작은 거리입니다. 육각형을 구성하는 각 정삼각형의 높이입니다. 정육각형의 둘레는 다음과 같이 계산됩니다.

  • 둘레 = 6r

정육각형의 면적을 계산하는 동안 다음 공식이 사용됩니다.

  • 면적 = (3√3/2)r 2

13. 정팔각형의 면적과 둘레 계산

정 팔각형
정 팔각형

정팔각형은 면이 8개인 다각형입니다. 팔각형의 각 변의 길이가 r 이면 정팔각형의 둘레는 다음과 같이 계산됩니다.

  • 둘레 = 8r

정팔각형의 면적을 계산하는 동안 다음 공식이 사용됩니다.

  • 면적 = 2(1+√2)r 2

분수

Wenninger, Magnus J. Polyhedra Cambridge University Press의 모델, 1974.

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Sergio Ribeiro Guevara (Ph.D.)
(Doctor en Ingeniería) - COLABORADOR. Divulgador científico. Ingeniero físico nuclear.

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