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数学では、素数は整数を学習する際の一般的なトピックの 1 つです。素数は無限であるため、1 から X までのランダムに選択された数が素数である確率を調べることは、素数を使って練習するための興味深い演習です。
素数とは
素数とは、1 とそれ自体、つまり問題の数だけで割り切れる数です。これは、他の数値で割ると、結果が整数にならないことを意味します。また、素数は無数にあると考えられています。
素数とは異なり、合成数は、1 で割り切れる数、それ自体で割り切れる数、および他の数で割り切れる数です。
数値 1 は素数とは見なされず、合成数でもありません。
素数とエラトステネスのふるい
すべての素数をすばやく見つけるために、ギリシャの数学者エラトステネス (紀元前 3 世紀) は、すべての素数を特定の数にする簡単な方法を作成しました。この方法は「エラトステネスふるい」として知られています。
エラトステネスのふるいは、与えられた自然数より小さい素数をすべて知ることができるアルゴリズムです。これを行うには、2 から選択した数 (n) までのすべての自然数を含むテーブルを作成します。この例では、n は 100 です。
次に、素数でない数字には取り消し線が引かれます。まず、2 から始めて、その倍数をすべて取り消します。交差していない数が見つかると、その倍数はすべて取り消し線で消されます。この手順は、次に素数であることが確認された数の 2 乗が “n” より大きい場合に終了します。
エラトステネスのふるいを使用して、0 から 100 までの 25 個の素数を取得します: 2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61 、67、71、73、79、83、89、97。
素数の他の例
100 と 1000 の間の素数の他の例: 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197 、199、211、223、227、229、233、239、241、251、257、263、269、271、277、281、283、293、307、311、313、317、331、337、347、 349 、353、359、367、373、379、383、389、397、401、409、419、421、431、433、439、443、449、457、461、463、467、479、487、491、 499 、503、509、521、523、541、547、557、563、569、571、577、587、593、599、601、607、613、617、619、631、641、643、647、653、 659 、661、673、677、683、691、701、709、719、727、733、739、743、751、757、761、769、773、787、797、809、811、821、823、827、 829 、839、853、857、859、863、877、881、883、887、907、911、919、929、937、941、947、953、967、971、977、983、991、997。
素数問題
数学でよくあることですが、素数の計算方法を理解する最善の方法は、問題を解くことです。素数を選択できる確率を知るための簡単な問題を見てみましょう。
最初に、1、2、3 などから特定の数値 X までの正の整数を選択します。次に、これらの数値のいずれかをランダムに選択する必要があります。これは、すべての X 数が選択される可能性があることを意味します。
この問題の解決策は、数値 X が小さい場合は簡単です。この問題は、次の手順に従って解決します。
- 最初の一歩：
- X 以下の素数の数を数えます。
- 第二段階：
- X 以下の素数の数を X 自体で割ります. つまり、1 から 10 までの特定の素数を選択する確率を知りたい場合は、素数の数を 10 で割る必要があります.
たとえば、1 から 10 までの素数が選択される確率を求めるには、素数の数を 10 で割る必要があります。1 から 10 までの素数は 2、3、5、7 の 4 つなので、素数は 4/10 = 0.4、つまり 40% です。
同様に、1 から 50 までの素数が選択される確率を知りたい場合は、前の手順を実行できます。50 未満の素数は 15 です: 2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、および 47。 50: 15 /50 = 0.3、つまり 30% です。したがって、1 から 50 までの素数を選択する確率は 30% です。
素数定理とは
特定の数までの素数を知り、そのうちの 1 つを選択する確率を計算する別の方法は、素数定理を使用することです。この定理は、18 世紀にドイツの数学者ガウスによって発表され、ほぼ 1 世紀後に、フランスのジャック アダマールやベルギーのシャルル ジャン ド ラ ヴァレ プッサンなどの他の数学者によって実証されました。
素数定理では、X 以下の素数はおよそ X / ln(X) あると述べています。このステートメントでは、次のようになります。
- ln(X): X の自然対数です。
- X: は、素数を知りたい数です。
X の値が増加すると、X より小さい素数の数とステートメント X / In(X) の間の相対誤差が減少します。
素数定理の適用方法
素数定理を使用すると、特に大量の数の中から素数を知りたい場合に、前の問題と同様の問題を解決できます。
素数定理により、X 以下の素数がおよそ X/ln(X) 個存在することがわかります。さらに、X 以下の正の整数が合計 X 個存在します。したがって、確率この範囲でランダムに選択された数が素数であることは、( X / ln(X) ) / X = X / ( ln(X) . X ) = 1 / ln(X) です。
たとえば、その結果を使用して、最初の 100 万個の整数の中からランダムに素数を選択する確率を概算できます。
これを行うには、100 万の自然対数を計算する必要があります。したがって、次のようになります。
P(1,000,000) = (X/ln(X) / X = 1 / ln(X)
P(1,000,000) = 1 / ln(1,000,000)
したがって、ln(1,000,000) = 13.8155 となり、1 / ln(1,000,000) は約 0.07238 になります。したがって、最初の 100 万個の整数からランダムに素数を選択する確率は約 7.238% です。
参考文献
- ロペス・マテオス、M.基礎数学。（2017）。スペイン。スペースを作成します。
- dk. 数学の本。（2020）。スペイン。dk.
- Gracian、E.素数：無限への長い道のり。（2010）。スペイン。RBAブック。
