実数は？

数字にはさまざまな性質があり、さまざまなグループに分類できます。これらのグループの 1 つは、数学のさまざまな分野で広く適用されており、実数です。それらをよりよく理解するために、まずさまざまな種類の数値が何であるかを見てみましょう。

数字

数について最初に学ぶことは、数を数える方法です。指で合わせて簡単な操作をすることから始めます。したがって、私たちの 10 本の指は 10 進数の基本です。そこから、できる限り多くの量を数え、数が無限であることに注意します。ですから、数える必要がないときにゼロ (0) を追加すると、自然数が形成されます。

自然数を使用して算術演算を行い、数値から別の数値を減算する場合、負の数値を導入する必要があります。したがって、自然数に負の数を追加すると、整数のセットが得られます。

数値で実行する算術演算の中に除算があります。また、ある数値を別の数値で除算すると、結果が整数にならない場合があることがわかります。多くの場合、この除算結果は除算式そのもの、つまり分数でしか正確に表すことができません。これは有理数の集合がどのように構築されるかであり、すべての数は分数として書かれ、整数は分母として数 1 を持ちます。

分数として表すことができない数があることを観察したのは古代文明でした. 幾何学図形を扱うとき、彼らは円の半径と長さの関係である円周率という数値を見つけました。この数値は 2 つの整数の商として表すことはできません。これは、数値 2 の平方根の場合にも当てはまります (つまり、数値を 2 倍した結果、数値 2 が得られます)。そして、有理数の集合の一部ではない知識のさまざまな分野で現れる多くの数があります。2 つの整数の商として正確に表すことができないこれらの数は、無理数と呼ばれます。したがって、有理数と無理数の集合は、実数の集合を構成します。

実数は、さらに大きな数の集合である複素数の一部です。この実数の集合の拡張は、負の数の平方根を計算するときに発生します。2 つの負の数の積は常に正であるため、それ自体を乗算して負になる実数は存在しません。次に、-1 の平方根を表す虚数iが定義され、複素数の集合が生じます。

小数表現

すべての数値は 10 進数で表すことができます。たとえば、有理数 1/2 は 10 進数で 0.5 と表すことができます。小数点以下 1 桁で正確に表現できる有理数 1/2 とは異なり、他の有理数は小数点以下の桁数が無限であり、これらは、10 進数表現で正確に表現できます。これは 1/3 の場合です。その小数表現は 0.33333… で、小数点以下の桁数は無限です。これらの有理数は、周期的な 10 進数と呼ばれます。これは、すべての場合において、無限に何度も繰り返される一連の数があるためです。数 1/3 の場合、数列は 3 です。1/7 の場合、10 進数の形式は 0.1428571428571… であり、無限に繰り返される数列は 142857 です。無理数は周期的な 10 進数ではありません。10 進数表現で無限に繰り返されるシーケンスはありません。

視覚的表現

実数は、図に示すように、直線に沿った無数の点の 1 つにそれぞれを関連付けることで視覚化できます。このグラフィック表現には、値が約 3.1416 の数値 pi、約 2.7183 の数値e、および数値 2 の平方根である約 1.4142 があります。数値 0 から右に向かって正の実数が増加する形式で配置され、左に向かって負の実数がその方向に絶対値を増加させます。

実数のいくつかの性質

実数は、私たちがよりよく知っている整数または有理数のように振る舞います。同じ方法で足し算、引き算、掛け算、割り算ができます。唯一の例外は、数値 0 による除算です。これは不可能な演算です。足し算と掛け算の順序は重要ではありません。なぜなら、可換の性質は依然として保持され、分配の性質も同じように適用されるからです。同様に、2 つの実数xとyは一意に順序付けられ、次の関係のうちの 1 つだけが正しいです。

x = y、x < yまたはx > y

実数は、整数や有理数と同じように無限です。整数と有理数の両方が実数のサブセットであるため、原則としてこれは明らかです。しかし、違いがあります。整数と有理数の場合、それらは可算無限数であると言われます。代わりに、実数は無限無数です。

集合は、その構成要素のそれぞれが自然数に関連付けられる場合、可算または可算であると言われます。整数の場合、関連付けは明らかです。有理数の場合は、分子と分母の自然数のペアとの関連付けと見なすことができます。しかし、この関連付けは実数では不可能です。

ソース

• アリアス・カベサス、ホセ・マリア、マザ・サエズ、イルデフォンソ。算術と代数。カルモナ・ロドリゲス、マヌエル、ディアス・フェルナンデス、フランシスコ・ハビエル編。数学 1. ブルーニョ編集グループ、有限会社、マドリッド、2008 年。
• カルロス・イヴォラ。ロジックとセット理論。2011年。