中心極限定理の重要性

中心極限定理は確率論の基本定理です。「中心的」という用語は、基本的または中心的重要性に相当し、1920 年にジョージ ポリアによって造語され、確率論における定理の関連性を示しています。極限定理には、さまざまな数学者によって提案されたいくつかのバージョンがあります。基本的に、中心極限定理は、特定の仮説の下では、非常に多数の確率変数の合計の分布が正規分布に近似することを示しています。

中心極限定理

中心極限定理のステートメントは抽象的ですが、それを段階的に理解する方法を見てみましょう。関心のある母集団からn 個のアイテムの単純なランダム サンプルがあるとします。このサンプルでは、​​関心のある母集団の平均を表すサンプル平均を計算できます。サンプル平均の分布は、同じ母集団から同じサイズの単純な無作為サンプルを繰り返し選択し、これらの各サンプルの平均を計算することによって生成できます。単純なランダム サンプルのそれぞれは、他のサンプルから独立している必要があります。

中心極限定理は標本平均の分布に関するもので、この分布は正規分布に近似するというものです。単純無作為標本が大きいほど、標本平均の分布の正規分布への近似が向上します。中心極限定理は、これらの条件下では、初期分布に関係なく、サンプル平均の分布が正規であることを確立することに注意してください。母集団の分布が歪んでいても、これは人々の収入や体重などのパラメーターを調査するときによくある状況ですが、サンプル サイズが十分に大きければ、サンプル平均の分布は正規になります。

中心極限定理の重要性が存在するのはこの点です。これにより、正規と見なすことができる分布を扱うときに統計問題を単純化できるからです。仮説検定や信頼区間の決定など、母集団が正規分布を持っていると見なすことが不可欠である、非常に関連性の高いアプリケーションが数多くあります。

外れ値、偏った分布、または複数のピークを示す実際のデータ セットを見つけることは難しくありません。しかし、中心極限定理を適用すると、適切なサンプルサイズを選択すれば、母集団が正規分布を示さない問題に対処できます。したがって、調査対象の母集団の分布がわからない場合でも、中心極限定理により、十分な大きさのサンプルを取得すれば、実際の分布を正規分布で近似できることが保証されます。特定の状況では、データの探索的分析は、中心極限定理が有効になるようにサンプルのサイズを測定するのに役立ちます。

噴水

ヒメナ・ブライオッタ、パブロ・デリュートラズ 中心極限定理。 ブエノスアイレス大学精密自然科学部、アルゼンチン、2004年。