確率の公理

公理は、証明を必要とせずに真実として受け入れられ、科学のすべての理論と定理が基づいている一連のステートメントです。したがって、確率の公理は、 確率論が基づいている基本的なステートメントです。それらは、確率論のすべての既存の定理が論理的に参照すべき究極の参照フレームを表しています。それらは 1933 年にロシアの数学者アンドレイ・ニコラエヴィチ・コルモゴロフによって仮定され、もっぱら常識から導き出されました。

確率の公理の目的は、確率の数学的概念を形式化して、何かが発生する確率に割り当てる数値が、直感的な確率の概念と一致するようにすることです。

暫定的な定義

確率論は3 つの公理のみに基づいていますが、詳細に入る前に、いくつかの基本的な定義と、確率で使用される記号に関するいくつかの規則を確立する必要があります。

• 実験。結果または観察を生成するアクションまたはプロセスです。たとえば、コインを投げることは実験 (プロセスまたはアクション) であり、表または裏が生じる可能性があります。
• サンプル空間 ( S )。実験のすべての可能な結果のセットを指し、記号Sで示されます。上記のコイン トスの例では、サンプル空間は 2 つの結果のみのセットで構成されています: S ={表、裏}。
• イベント ( E )。イベントは、サンプル空間のサブセットです。つまり、実験の可能な結果の数です。イベントは通常、大文字と下付き文字 (E ₁、E ₂、E ₃など) または別の文字 (A、B、C など) で識別されます。例えば、コイントスで表が出るのはイベントです。テールが来るのは別のイベントです。
• 確率 ( P ):イベントに割り当てられた数値であり、その発生について人が持っている確実性の程度を示します。原則として、イベント (たとえば E ₁ ) が発生することが確実であるほど、そのイベントに割り当てる確率値が高くなります。

セット

これらの定義に加えて、セットに関連するいくつかの操作を覚えておくと役立ちます。2 つのセット間の交差は、両方に共通の要素を持つ新しいセットになります。これは記号∩で示され、「and」と読み取られます。一方、2 つの集合間の結合は、両方の共通要素と非共通要素をすべて含む新しい集合であり、記号∪で表され、「または」と読みます。

例：

• 式P(E ₁ ∩ E ₂ )は、 「イベントE ₁ とイベントE ₂ が同時に発生する確率」と読みます。
• 式P(E ₁ ∪ E ₂ )は、「イベントE ₁ またはイベントE ₂の発生確率」と読みます。

確率の公理 1

確率の最初の公理は、与えられた実験で、イベントが発生する確率 (E) は非負の実数でなければならないことを示しています。これは正式には次のように表されます。

公理 1 は、負の確率について話すことは無意味であるという直感的な概念を表しています。また、不可能なイベントに割り当てられる下限としてゼロ確率を確立します。後者は、実験のサンプル空間に含まれていない結果 (または結果のセット) として正式に定義されます。

例：

サイコロを 1 回だけ振る場合、標本空間は集合 S={1, 2, 3, 4, 5, 6} だけで形成されます。最初の公理は、いずれかの結果 (たとえば 4) が得られる確率は、0 より大きい数値 ( P(4)>0 ) でなければならないことを示しています。一方、サンプル空間の一部ではない結果が 7 である確率はゼロです ( P(7)=0 )。

最初の公理は、起こりうる事象の確率の大きさを述べていないことに注意してください。つまり、サイコロを振った結果がたとえば 4 になる確率がどうあるべきかを述べていません。なんらかの正数です。

確率の公理 2

確率の 2 番目の公理は、すべての実験について、サンプル空間の確率が 1 である、または形式的には次のようになります。

公理 2 を理解する簡単な方法は、結果が何であれ、実験で得られる確率は 1 であるということです。

例：

前述のように、コインを投げた場合、可能な結果は表または裏の 2 つしかないため、公理 2 によると表または裏が出る確率は 1 です。

最初の公理が確率の下限をゼロに設定する場合、2 番目の公理はその上限を 1 に設定します。これは、サンプル空間が特定のイベントであり、その確率が可能な限り最大の確率でなければならないためです。

確率の公理 3

イベント E ₁、E ₂、…、E _nに共通の結果がない場合 (それらの共通部分が空集合である場合)、それらは相互に排他的であると言われます。これは、一方の発生が他方の発生を除外するためです。3 番目の公理は、相互に排他的なイベントの結合確率は、個々のイベントの確率の合計に等しいと述べています。言い換えると：

2 つの相互に排他的なイベント (コイン トスの場合など) のみの最も単純なケースでは、公理 3 は次のように定式化されます。

この公理は、ある出来事に対して起こりうる結果が多ければ多いほど、その可能性が高くなるという考えを形式化しています。これは、2 つの相互に排他的なイベントの結合には、定義により、両方のイベントのすべての結果の合計が含まれている必要があるという事実から生じます。

公理の適用

前述の例に加えて、3 つの公理を使用して、確率論で有用な定理を構築および証明できます。簡単な例は、任意のイベントの確率とその補足の間の関係を決定することです。

E が任意のイベントである場合、その補数 ( E ^cで表される) は、 E以外の何かが発生するイベント、または同じことであるE が発生しないイベントとして定義されます。この定義には、次の 2 つの結果があります。

• そのEとE ^{c は}相互に排他的です。
• E とE ^cを結合すると、標本空間S ( E ∪ E ^c = S ) が得られます。

それらは相互に排他的であるため、3 番目の公理に基づいて、

しかし、この和集合はSになるので、

ここで、2 番目の公理を適用すると、次のようになります。

として再配置されます

最後に、最初の公理から、P(E ^c )は非負の量であることがわかっているため、イベントが発生する確率は常に 1 からイベントが発生しない確率を引いた値に等しいと結論付けます。 2 つの確率のいずれかが区間 [0, 1] 内の値を持たなければならないこと。

ソース

Devone、JL（1998）。工学と科学のための確率と統計(第 4 版)。国際トムソン出版社。