Tabla de Contenidos
すべての要素に一意の自然数を割り当てることができない場合、数の集合は数えられません。つまり、不可算集合とは、自然数と一対一に対応しない集合のことです。
私たちは通常、数えるために自然数を直感的に使用します。これは、数えたいグループの各要素に順番に自然数を割り当てることによって行います。たとえば、手の指の数を数える場合、それぞれの指に 1 から始まり 5 で終わる固有の自然数を割り当てます。これが最大値であるため、手に 5 本の指があることがわかります。指に割り当てます。つまり、指を数えます。
この考えは、いくつかの数のセットには適用できません。場合によっては、セットが非常に大きいため、無限の自然数を使用しても、セットのすべての要素に番号を付けるには不十分です。自然数の集合は無限であるため、数えられない集合があるという考えは、他のものよりも大きいいくつかの無限大があり、自然数の集合と同じ「サイズ」の無限大を持つそれらの集合だけがあるという考えを示唆しています。自然数です。集合の要素の数は基数と呼ばれるため、不可算集合は、基数が自然数の基数よりも大きいものです。
可算集合と不可算集合のいくつかの性質
一部のセットが可算で一部が可算でない理由を理解するには、セットのいくつかのプロパティを知っておくと役立ちます。
- A が B の部分集合で、A が数えられない場合、B も数えられません。つまり、数えられない集合を含む集合は、それ自体が数えられないものでなければなりません。
- A が不可算で、B が任意のセット (可算または不可) である場合、和集合 AUB も不可算です。
- A が不可算で B が任意の集合である場合、デカルト積 A x B も可算です。
- A が無限 (可算無限であっても) の場合、A のベキ集合は可算です。
最も一般的な不可算集合の例
実数の集合 (R)
実数の集合は、数えられない集合の最初の例です。しかし、それらが無限の要素を持ち、割り当てる自然数も無限にある場合、それらが数えられないことをどのように知ることができますか? これは、カントールの対角論のおかげです。
カントールの対角線
カントールの対角引数により、明確に定義された 2 つの範囲 (たとえば 0 と 1 の間) の間にある実数の部分集合が不可算集合であることを示すことができます。結果として、前述の不可算集合の性質により、すべての実数の完全な集合も不可算でなければなりません。
0 と 1 の間の実数の無限リストを作成するとします。このリストがどのように構築されるかはまったく関係ありません。重要なのは、すべての数値が一意であるということだけです。ここで、これらの数値のそれぞれに、1 から開始して順番に機能する固有の自然数を割り当てます。このリストの例を次の表に示します。
| いいえ。 | R. | ||||||||
| 1 | 0, | 2 | 2 | 4 | 5 | 8 | 7 | 9 | 6… |
| 2 | 0, | 5 | 2 | 1 | 3 | 2 | 4 | 0 | 2… |
| 3 | 0, | 6 | 4 | 0 | 5 | 7 | 8 | 3 | 0… |
| 4 | 0, | 1 | 7 | 9 | 8 | 2 | 2 | 4 | 3… |
| 5 | 0, | 8 | 5 | 5 | 4 | 7 | 3 | 2 | 2… |
| 6 | 0, | 0 | 4 | 8 | 3 | 8 | 1 | 5 | 3… |
| 7 | 0, | 7 | 8 | 4 | 2 | 0 | 9 | 1 | 0… |
| 8 | 0, | 3 | 4 | 6 | 7 | 9 | 1 | 3 | 5… |
| … | … |
この時点で、リスト内のすべての数値に一意の自然数を割り当てています。このリストは無限であり、各実数は自然数に対応するため、この表ですべての自然数を「使用」します。Canto が行ったことは、このリストにないため数えることができない追加の実数が少なくとも 1 つあることを示したことです。この数値は、表を横切る対角線のすべての要素を取得し、1 を追加することによって作成されます。つまり、新しい数値は、最初の数値の最初の桁を 1 単位増やしたものから始まり、次の 2 桁目になります。 2 番目の数値は 1 単位増加し、次に 3 番目の数値の 3 桁目、というように続きます。
次の表では、対角線上の要素が太字で強調表示され、操作の結果の数値が最後の行に追加されます。
| いいえ。 | R. | ||||||||
| 1 | 0, | 2 | 2 | 4 | 5 | 8 | 7 | 9 | 6… |
| 2 | 0, | 5 | 2 | 1 | 3 | 2 | 4 | 0 | 2… |
| 3 | 0, | 6 | 4 | 0 | 5 | 7 | 8 | 3 | 0… |
| 4 | 0, | 1 | 7 | 9 | 8 | 2 | 2 | 4 | 3… |
| 5 | 0, | 8 | 5 | 5 | 4 | 7 | 3 | 2 | 2… |
| 6 | 0, | 0 | 4 | 8 | 3 | 8 | 1 | 5 | 3… |
| 7 | 0, | 7 | 8 | 4 | 2 | 0 | 9 | 1 | 0… |
| 8 | 0, | 3 | 4 | 6 | 7 | 9 | 1 | 3 | 5 … |
| … | … | 2+1 | 2+1 | 0+1 | 8+1 | 7+1 | 1+1 | 1+1 | 5+1 |
| 0, | 3 | 3 | 1 | 9 | 8 | 2 | 2 | 6… |
結果の数値は 0.33198226…
ご覧のとおり、新しい数字の最初の数字 (3) はリストの最初の数字の最初の数字 (2) とは異なるため、最初の数字とは異なる数字になります。他のすべての数字の数字はまったく同じです。2 桁目 (3) は 2 番目の数字の 2 桁目 (2) とは異なるため、2 番目の数字とも異なります。
この同じ議論は、対角線に沿って進むことで無期限に続けることができ、結果の数がテーブル内のすべての無限数と少なくとも 1 桁異なることを保証します。
ただし、この新しい数を作成する前にすべての自然数を既に「使用」または割り当てているため、それに割り当てる一意の自然数が残っていないため、0 と 1 の間の実数のセットは、したがって、すべての実数の拡大は不可算集合です。
超越数の集合
超越数は、実数の集合に属する数ですが、代数的数ではありません。これは、次の形式の多項式の根ではないことを意味します。
ここで、すべての係数は整数です。Aをすべての代数的実数の集合と呼び、 Tを残りの実数、つまり超越数と呼びましょう。実数の総集合Rが集合AとTの和集合であることは簡単にわかります。つまり、次のようになります。
代数的数の集合が可算であることを示すことができます。また、実数が数えられないことはすでに証明されています。R は可算でないので、2 つの可算集合の和集合によって形成することはできません。Aが可算であることから、Tは可算でないことがわかります。
2 進数シーケンスのセット
一連の 2 進数は、単純に任意の長さの 0 と 1 の文字列です。2 進数のすべての可能なシーケンスを結合すると、2 進数のシーケンスのセットが得られます。これは、数字が 0 と 1 だけである実数のサブセットにすぎません。
R が可算でないことを示すのと同じカントール引数を使用して、この数の集合が可算でないことを示すのは非常に簡単です。唯一の注意点は、対角線上の数字に 1 を追加する代わりに、単に値を逆にして、0 を 1 に、またはその逆に置き換えることです。
前と同じように、結果として得られるバイナリ シーケンスは、元のリストに含まれていたシーケンスの無限のセットとは異なり、数えられないセットになります。
基数が異なるその他の数列
2 進数列と実数列からの引数は、任意の基数の任意の数列に拡張できます。この意味で、16 進数のすべてのシーケンスのセットは数えられません。3 進数、4 進数などのシーケンスのセットも同様です。
参考文献
不可算集合の一般的な例。（2020年3月16日）。PeoplePerProject。https://en.peopleperproject.com/posts/9312-common-examples-of-uncountable-sets
Ivorra Castillo、C.（sf）。セット理論。UV.es。https://www.uv.es/ivorra/Libros/TC.pdf
ライブラリテキスト。(2021 年 7 月 7 日)。1.4: 可算集合と不可算集合. 数学LibreTexts。https://math.libretexts.org/Bookshelves/Combinatorics_and_Discrete_Mathematics/An_Introduction_to_Number_Theory_(Veerman)/01%3A_A_Quick_Tour_of_Number_Theory/1.04%3A_Countable_and_Uncountable_Sets
Schwartz, R. (2007 年 11 月 12 日)。可算集合と不可算集合。茶色の数学。https://www.math.brown.edu/reschwar/MFS/handout8.pdf
不可算集合 | 不可算集合の例。(2020 年 9 月 21 日)。キューマス。https://www.cuemath.com/learn/Mathematics/uncountable-sets/
