期待値または数学的期待値の計算方法

数学では、期待値とも呼ばれる期待値は、確率変数の値の長期平均です。ある意味では、ランダムな実験を何度も繰り返した後に得られると予想される確率変数の値に対応しています (したがって、「期待値」という名前が付けられています)。

問題の確率変数のタイプに応じて、期待値を計算する方法が 2 つあります。この変数は通常、大文字の X で表され、連続または離散のいずれかになります。以下に示すように、それぞれのケースで、 X の期待値 (E[X] で示される)の計算方法が変わります。

離散確率変数の期待値の計算

確率変数は、定量的または定性的なランダム実験の各結果に数値または数値を割り当てる任意の関数です。離散確率変数の場合、これらは可能な結果の数が有限である確率変数、またはその結果を 1 番目、2 番目、3 番目などの順序で並べることができる確率変数を指します。

離散確率変数の例としては、2 つの 6 面ダイスを振ったときに出される偶数の数が考えられます。この場合、確率変数の可能な値は 0、1、および 2 のみです。

離散確率変数の期待値は、変数の各値とその値の確率の積を加算することによって計算されます。これは、次の式を使用して数学的に記述できます。

この式で、E[X] は X (決定したい値) の期待値であり、x _{i は}確率変数の i 番目の値に対応し、P(x _i ) は実験の結果がは x _iです。

離散確率変数の期待値の計算例

期待値の概念を理解するための実用的で簡単な方法は、偶然のゲームです。ラッキー ルーレットのゲームを想像してみてください。たとえば、さまざまな国で放送されているテレビ番組のように、さまざまなバリエーションがあります。このルーレット ホイールでは、場合によっては、400 ドルを失う結果となる 4 つのウェッジ、0 を含む 5 つのウェッジ、1,000 ドルを含む 6 つ、および $6,000 のジャックポットを持つ 1 つのウェッジがあります。問題は、ルーレットの参加者が長期的に獲得できる金額の期待値はどれくらいかということです。

このような問題に直面したとき、最初にすべきことは、ルーレットを回す実験で考えられるすべての結果を決定することです。さらに、確率変数の可能な値のそれぞれを取得する確率を決定することが可能でなければなりません。

この場合、400 ドル、0 ドル、1,000 ドル、6,000 ドルの 4 つの可能な結果しかありません。全部で 4 + 5 + 6 + 1 = 16 個のウェッジがあるため、確率変数の各結果の確率は 1/4、5/16 です。3/8 と 1/16。

これで、期待値を決定するために合計を実行するために必要なものがすでにあります。

これは、長期的には、ルーレットが参加者に 650 ドル支払うことを意味します。

連続確率変数の期待値の計算

確率変数が連続的である場合、その可能な値のセットは、この間隔が有限であるか無限であるかにかかわらず、実数の間隔で構成されることを意味します。連続確率変数の場合、確率は pdf に置き換えられ、合計は積分に置き換えられます。

この式で、x は連続確率変数で、f (x) は x の確率分布関数に対応します。ここでわかるように、確率変数 X-

連続確率変数の期待値の計算例

分布関数が次の式で与えられる連続確率変数を考えます。

この連続確率変数の平均値または期待値を決定するよう求められます。

この問題を解決するときは、関数が断片的に定義され、実線を (-∞; -2 )、[-2 ; -2 の 3 つの間隔に分割することを考慮する必要があります。2] および (2 ; + ∞)。このように、X の期待値の式を適用すると、積分は 3 つの積分の合計に分割されます。

ただし、確率変数 x は最初と最後の間隔でゼロであるため、両方の積分はゼロであり、-2 と +2 の間で評価された中央の積分のみが得られます。

参考文献

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