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「最大」と「最小」は、記述統計でデータセットの範囲を計算するか、微分計算で関数の極値を計算するために使用できます。ここでは、両方の用途について説明します。
統計の最大値と最小値
統計では、サンプルの最大値と最小値は、最大観測値と最小観測値とも呼ばれ、データ セット (つまり、サンプル) 内の最大要素と最小要素の値です。
サンプルに外れ値がある場合、極端に高いか低いかに応じて、必ずサンプルの最大値または最小値、あるいはその両方が含まれます。ただし、それらが他の観測値から異常に離れていない場合、サンプルの最大値と最小値は必ずしも外れ値ではありません。
したがって、最小値と最大値は、特定のデータ セットを理解するのにも役立ちます。12 人の子供の体重の例を見てみましょう。
38 50 13 110 26 42 81 22 36 49 77 98
上記の子供の体重のデータセットを使用して、最小値と最大値を見つけることができます。最小値は観測値の最低値であり、最大値は観測値の最高値です。データ セットの最小値と最大値を知る最も簡単な方法は、最小値から最大値の順に並べることです。
13 22 26 36 38 42 49 50 77 81 98 110
したがって、このデータでは、最小値は 13 で最大値は 110 です。
計算上の最大値と最小値
微積分では、最大および最小という用語は、関数の極値、つまり関数が到達する最大値と最小値を指します。
最大とは、上限または可能な最大量を意味します。関数の絶対最大値は、関数の間隔に含まれる最大数です。つまり、関数の定義域内のすべてのxについて、f(a)がf(x)以上の場合、 f(a)は絶対最大値です。
たとえば、関数f(x) = -16×2 + 32x + 6 では、x = 1の最大値は22です。x の各値は、22 以下の関数の値を生成するため、22 は絶対最大値です。グラフの用語では、関数の絶対最大値は、グラフの最高点に対応する関数の値です。
反対に、最小値は、下限または可能な最小量を意味します。関数の絶対最小値は、その範囲内の最小の数値であり、グラフの最低点にある関数の値に対応します。
関数の最大値と最小値を見つける理論は、関数の導関数が接線の傾きに等しいという事実に基づいています。独立変数の値が増加するにつれて関数の値が増加する場合、関数のグラフに対する接線は正の傾きを持ち、関数は増加していると言われています。
逆に、独立変数の値が増加するにつれて関数の値が減少する場合、接線は負の傾きを持ち、関数は減少していると言われます。関数が増加から減少、または減少から増加に移行する正確なポイントでは、接線は水平(勾配 0)であり、導関数はゼロです。
ソース
- Becerril、E.（sf）。関数の増減。
- フランコ、A. (2016)。統計: 最大値と最小値。
- Requena、B.（2014）。関数の最大値と最小値。
- Santiago , R., Gomez, J. & Parra, B. (2003). 最大値と最小値の理論。
