数学の平均とは何ですか.

数学では、平均とも呼ばれ、一連の数値またはデータの値を 1 つにまとめた数値です。これは、何らかの方法でデータのコレクションの中心にある値を表すため、中心傾向の尺度として知られています。

平均は何のためですか？

個々の値の詳細に迷うことなく、多数のデータの動作を大まかに見ることができるため、平均は非常に役立ちます。例えるなら、平均を計算することで、木に注目するのではなく、森全体を見ることができます。

たとえば、教育機関の同じ学年に属する 100 人の生徒の身長の値を示すテーブルを作成できます。ほとんどの場合、これらの人の身長はまったく同じではないため、表のほとんどの値は異なります。

その学年でそのキャンパスにいる生徒の身長を誰かが私たちに尋ねたらどうなるでしょうか? それらの高さを答えとして与えるのは正しくありません。ここで、平均値が役立ちます。100 の異なる高さを報告する代わりに、平均を使用すると、そのすべての情報を 1 つの数値にまとめることができます。したがって、キャンパス内の学生の平均身長は 1.67 m であると言えます (その場合)。

これは、すべての生徒の身長が 1.67 であるとは限らず、この身長の生徒がいるということでもありません。単純に、そのキャンパスのその学年の生徒の身長を最もよく表す数値は 1.67 m です。

平均の計算による情報の損失

明らかに、データを平均に要約すると、多くの情報が失われます。わかりやすくするために情報を犠牲にしています。平均の計算は、記述統計と呼ばれるものの一部です。記述統計は、大量のデータ コレクションの動作や特性を少数の数値で説明できる一連の手法と計算にすぎません。

通常、平均値だけでは、提供するアプリケーションの多くに十分な情報を提供できません。欠落している情報の一部を回復するために、分散や標準偏差など、平均を中心とした個々のデータの分散の尺度とともに、平均が報告されることがよくあります。

平均の種類と計算式

データのコレクションから平均を計算するには、さまざまな方法があります。これにより、さまざまなタイプの平均、またはむしろ平均が生じます。

• 算術平均 (X̅ または AM)
• 加重算術平均 (WAM)
• 幾何平均 (GM)
• 調和平均 (HM)
• 二乗平均平方根 (RMS)

算術平均 (X̅ または AM)

算術平均 (AM) は、日常生活で最も一般的に使用される平均の形式です。これは、平均化する要素の単純な合計を、要素またはデータの総数で割ったものです。

算術平均は、多くの数学的なコンテキストで、平均化された変数を表す記号によって表され、その上にバーが表示されます。たとえば、変数 X の算術平均は、X̅ (X バー) として表されます。_{AM X}で表されることもあります。その式は次のように与えられます。

この式で、X _{i は}i 番目の個々のデータ項目を表し、nは平均化されるデータ項目の総数です。

この平均は、すべてのデータの中心にあり、平均に対するすべての個々のデータの偏差の合計が常にゼロになるという特徴があります。

算術平均は、外れ値や極端なデータに非常に敏感です。つまり、他のデータの大部分よりもはるかに大きいか、またははるかに小さい値がデータセットにある場合、これらの極端なデータは、他のデータの大部分から離れて、平均をそれに近づけます。

加重算術平均 (WAM または W)

算術平均は、平均されるすべてのデータに等しい重要性または重みを与えます。ただし、一部のデータが他のデータよりも重要な場合があるため、これは必ずしも便利ではありません。これらの場合、加重算術平均または加重平均が使用され、通常は記号 W (英語の「加重平均」から) で表されます。

加重平均では、各データ項目の相対的な重要性が、各データ項目 ( X _i ) の特定の加重係数 ( w _i )の形式で計算に入力されます。データの重要性が高いほど、重み係数が大きくなり、最終平均への影響が大きくなります。加重平均を計算する式は次のとおりです。

重み係数は任意に選択でき、場合によっては、必要に応じて適切な重み関数を使用して計算することもできます。

単純平均よりも加重平均の方が適切な状況の例として、学生の成績平均点を計算する場合が挙げられます。算術平均や単純平均は、これらのケースには適していません。他の科目よりも多くの労力と献身を必要とする科目があり、学生の学問的将来にとって他の科目よりも重要な科目もあるからです。このため、重要度の低い科目よりも GPA に大きく貢献する必要があります。

このような場合、通常、科目の単位数が加重係数として使用されます。

幾何平均 (GM)

幾何平均の計算では、データの合計をデータ数で割る代わりに、 n個の個別データを掛け合わせて、結合積の n 乗根を取ります。

この平均には、平均化されるデータのいずれかがゼロである場合にゼロになるという特性があります。また、データ項目の数が偶数の場合、幾何平均は負のデータに対して定義されていないため、その有用性は厳密に正の数に制限されています。

このタイプの平均は、パーセンテージ平均を計算するときによく使用されます。

調和平均 (HM)

調和平均 (HM) は、積または商として計算される量を平均化するためによく使用される平均の一種です。いくつかの重要な例は、同じ長さの旅行の平均速度の計算、株式市場への投資の株価収益率 (PER) などです。

調和平均を計算する式は、個々のデータの逆数の算術平均の逆数で構成されます。つまり、次の式で与えられます。

二乗平均平方根 (RMS)

二乗平均平方根とも呼ばれる RMS は、正と負の両方の値を持つデータに適した平均のタイプを表します。これは、個々のデータの 2 乗の算術平均の平方根に対応するためです。各データを二乗することにより、得られる結果は常に正になるため、平均の計算に対するこの符号の影響は排除されます。

RMS は次の式で与えられます。

RMS の最も一般的な用途は、正弦波による AC 電流の実効電圧の計算です。この場合、最も重要なのは波の平均振幅であり、電圧の平均値ではなく、0 V 付近の対称性によりゼロになります。

中心傾向のその他の尺度: 中央値と最頻値

前に見たさまざまな手段に加えて、主に統計で使用される中心傾向の他の尺度もあります。これらは中央値と最頻値です。

中央値 (X̃)

最小から最大の順に並べられた量的データのセットでは、中央値は中心データ、またはデータ系列を 2 つの半分または同じ数のデータを持つセットに分割する変数の値を表します。このように、関心のある変数の記号の上にチルダまたはチルダを配置することによって表される中央値の決定 (たとえば、ṽ は一連の速度データの中央値を表すことができます) は、利用可能なデータ。

中央値は必ずしも計算されるとは限りませんが、むしろデータセットで識別されます。中央値を特定するには、最初にすべてのデータを最小から最大の順に並べ、1 から順番に番号を付けます。次のステップは、存在するデータの総数 (n) が偶数か奇数かによって異なります。

奇数データの数:系列に奇数のデータが含まれる場合、中央値は (n+1)/2 の数値で識別されるデータになります。たとえば、合計で 15 のデータ ポイントがある場合、中央値はデータ ポイント (15+1)2=8 になります。これは、中央値の下に 7 データ ポイント、上に 7 データ ポイントが残るためです。

偶数データの数:この場合、系列を 2 つの等しい半分に分割する中心データがないため、中央値は 2 つの中心データ、つまりデータ番号 n/2 とデータの算術平均として計算されます。 (n/2) +1。たとえば、データ系列に 24 個のデータ項目が含まれている場合、中央値はデータ項目 2/2=12 とデータ項目 (2/24)+1=13 の単純平均になります。

中央値は、平均値よりも極端な値の影響を受けにくいという利点があります。ただし、データが歪んでいる場合は、中心傾向の適切な尺度ではありません。

モード (Mo _X )

モードは、データ セット内で最も頻繁に発生する値またはカテゴリです。これはシリーズの中で「最もホットな」値のようなもので、データがヒストグラムの形式で表される場合の最高ピークを表します。

異なる平均の計算例

首都のある学校の数学セクションの 30 人の生徒の身長に対応する次の一連のデータがあるとします。高さはすべてメートル単位です。

これらのデータから、a) 算術平均を決定します。b) 幾何平均 c) 調和平均; d) RMS、および e) 中央値。

解決

中央値を決定するように求められ、そのためにはデータを整理して特定する必要があるため、そこから開始します。通常、これにより他の計算が容易になるためです。

ここで、この表を使用して、計算するよう求められている平均を計算します。どちらの場合も、上に示した式を適用するだけです。

算術平均

幾何平均

調和平均

実効値

中央値

偶数のデータなので、中央値はデータ 30/2=15 と (30/2)+1=16 の算術平均、つまり 1.58 ～ 1.59 の平均になります。

参考文献

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