線形方程式の勾配切片形式

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一次方程式の傾き切片形式は、直線の方程式の形でその方程式を表現する方法です。つまり、デカルト座標系でグラフ化すると直線になる関数と同じ数学的形式で表されます。このように表現された線形方程式は、次の数学的形式を持ちます。

ご覧のように、線形方程式を表現するこの方法は、従属変数 (ほとんどの場合、これは変化する可能性があります) として一般的に見なされる変数を、方程式のメンバーの 1 つ (通常は左側) に分離することによって特徴付けられます。係数1で; もう一方のメンバーは、独立変数 (通常はx ) と独立項を含む項で構成されます。

勾配切片形式の線形方程式の解釈

このように表現すると、独立変数の係数 (この場合はm )は、この方程式をデカルト座標系でグラフ化したときの直線の傾きを表します。

一方、独立項 (この場合はb )は、次のグラフに示すように、直線が縦軸または y 軸を切断または交差する点を示します。それがまさに勾配切片形式と呼ばれる理由です。

勾配の解釈

勾配 ( m ) は、 xの値を 1 単位増加させることによって直線上の点のyの値がどの程度変化するかを示し、直線の勾配を表します。この値は、正と負の両方の任意の有理数にすることができます。異なる方法で解釈される 3 つの可能な値の範囲があります。

正の勾配 (m>0) は、グラフの左から右に移動するにつれて線が上昇することを示します。
独立変数の項が現れない場合 (つまり、式に x がない場合) は、傾きがゼロ (m=0) であることを意味します。この場合、線は横軸 (x 軸) に対して水平または平行になります。
傾きが負の場合 (m<o)、グラフの左から右に移動するにつれて線が下がります。

交差点の解釈

独立項bは、直線と縦軸、つまりデカルト座標系の y 軸との交点を表します。独立項がない場合は、その値がゼロ（b=0）であると解されるので、直線は座標系の原点を通ります。

勾配切片形式の直線の方程式の特殊なケース

ケース 1: y = b

方程式が前の形、つまり独立変数の項が現れないときは、傾きがゼロであることがわかり、したがって、方程式は点 (0;b) を通る水平線を表すことがわかります。）。

ケース 2: y = mx

独立項がない場合は、その値がゼロであることを意味するため、y 軸と 0 で交差します。これは、直線が座標系の原点を通過することを意味します。

ケース 3: 0 = mx + b

この場合、前のグラフに示すように、点 x = – b/m で横軸 (または x 軸) と交差する垂直線 (y 軸に平行) で構成されます。

これは、係数 m と独立項 b が通常の意味を失う直線の方程式の異常な形式です。垂直線に定義されていない勾配があります。つまり、その勾配は存在しません。これは、その勾配がゼロであると言っているのと同じではありません。

一方、y軸に平行な垂線なので、y軸と交わることはありません。したがって、独立項 b は、以前の場合のように交点を示すことはなくなりました。

勾配切片形式の利点

線形方程式を表す他の方法と比較して、勾配切片形式には次の利点があります。

直線の勾配と y 切片の値をすぐに返します。
上記により、デカルト座標系の線形方程式のグラフを非常に簡単かつ迅速に視覚化できます。
傾きの値を指定することで、接線を使用して線が x 軸となす角度をすばやく計算できます。
傾きを比較するだけで、2 つの直線が平行かどうかをすぐに知ることができます。
2 つの線が互いに垂直かどうかをすばやく判断できます。
方程式の形を見るだけで、それが増加、減少、水平、垂直のいずれであるかがすぐにわかります。
x 値を指定して、ライン上の任意の点の y 座標を 1 ステップで計算できます。
2 変数の線形方程式系を解くための代入法が容易になります。これは、方程式がそれらの 1 つ (y) について既に解かれているためです。

標準形を勾配切片形に変換する手順

勾配切片形式に加えて、直線の方程式は他の方法でも表すことができます。その中で最も重要なのは標準形式です。

この場合、係数 A、B、および C は整数です。このように表現された方程式があり、それを勾配切片形式で書きたい場合は、次の手順に従うだけで済みます。

ステップ 1:式の両辺から Ax を引きます。

ステップ 2:すべての係数と独立項を係数 B (符号を含む) で割ります。

ステップ 3:可能であれば、分割から生じた分数を単純化します。

標準形から傾き切片形への変換例

例 1: 3x + 2y = 4

ステップ1：

ステップ2：

ステップ 3:

ご覧のとおり、この方程式は 2 で y 軸と交差する下降線に対応します。

例 2: x – 4y = 6