ルーレットの期待値の計算方法

確率では、確率変数の期待値は、変数が多数発生する回数の平均値を指します。これは、確率変数のすべての可能な値の加重平均として計算されます。ここで、加重係数は、各値が発生する確率にすぎません。

確率は、チャンス ゲームの分野で非常に重要な研究分野であり、その中でルーレットは最も人気があり、最も理解しやすいゲームの 1 つです。

ルーレットとは？

典型的なアメリカン ルーレット ホイールは、1 から 36 までのラベルが付いた一連のスロットを備えたホイールで構成され、そのうちの 18 は黒で、残りの 18 は赤です。さらに、2 つの緑色のセルまたはスロットがホイールの両端にあり、それぞれ番号 0 と 00 で識別され、合計 38 個のセルがあります。

フレンチ ルーレットもあり、これには 00 のボックスがなく、合計 37 個のボックスがあります。

ゲームは、小さなボールが反対方向に投げられている間、ホイールを回転させることで構成されています。スピナーとボールの速度が遅くなると、ボールは 37 個または 38 個のポケットまたはスロットのいずれかに着地します。ボールが止まる前に、参加者はさまざまな種類の賭けをすることができます。可能な賭けのいくつかは次のとおりです。

• 特定の数字に賭ける (通常は 35:1 を支払う)
• 隣接する 2 つの数字に賭ける (通常は 17:1 の配当)
• 赤または黒に賭ける (通常は 1:1 を支払う)
• 奇数または偶数 (通常は 1:1 を支払う)
• ローベットまたはハイベット、つまり最初の 18 の数字 (1 から 18) または最後の 18 の数字 (19 から 36) (通常は 1:1 の支払い)
• 最初のダース (1-12) (通常は 2:1 を支払う)
• 2 ダース (13 から 24 まで) (通常は 2:1 を支払う)
• 3 ダース (25 から 36) (通常は 2:1 を支払う)

ご覧のとおり、これらの賭けのそれぞれは、それが起こる確率に応じて、特定のペイアウトを提供します。

次に、アメリカン ルーレット ホイールで行うことができるさまざまな種類の賭けに応じて、賞金の期待値を計算します。ここで得られた結果は、すべての確率の分母で可能な結果の総数を変更するだけで、簡単にフレンチ ルーレットに外挿できます。

いずれの場合も、賭けたドルごとに勝利の期待値を決定しますが、数値は他の通貨に繰り越すことができます。さらに、この期待値に賭けの実際の値を掛けると、その賭けの期待値が得られます。したがって、$1 を賭ける代わりに $100 を賭ける場合、$1 の賭けの期待値に 100 を掛けるだけで済みます。

ルーレットの賭け金の期待値の計算式

期待値を決定したい確率変数は、同じルーレットに何度も賭けた場合に平均して獲得できる金額です。賭けをするとき、私たちは勝つか負けるかという 2 つの結果しかない実験を行っています。ベットと一致するボックスにボールが入れば勝ち、そうでなければ負けとなります。

X を賭けによって得られる利益 (確率変数)、pを成功の確率、x _{1 を}勝った場合の利益、qを失敗の確率、x _{2 を}次の場合の利益 (または損失) と呼ぶとします。負けた場合、賭けの期待値は次のように計算できます。

次に、この式をさまざまな賭けに適用する方法を見ていきます。

ルーレットで特定の数字に賭けた場合の期待値

特定の数字 (0、00、1、2、3、…) に $1 を賭けたとします。

この賭けのペイアウトは、勝った場合の 35 対 1 です。つまり、$1 を賭けるごとに $35 を受け取り、さらに $1 を賭けることになります。次に、成功した場合の確率変数の値 (x ₁ ) は、この場合は +$35 になります。これが純利益であるためです。成功確率 (p) は 1/38 です。これは、ボールが落ちる可能性のある正方形が全部で 38 あり、勝つ正方形が 1 つしかないためです。

一方、ボールが他の番号に着地した場合、ベットに負けます。この場合、ハウスはベットした $1 を保持します。したがって、実際にお金を失うので、「利益」は -1 ドルになります。負ける確率 (q) は 37/38 です。これは、賭けた数字以外のボックスは負けになるためです。このデータを使用して、式を適用し、この賭けの期待値を決定できます。

つまり、ルーレットで特定の数字に賭けた場合の期待値は、1 ドル賭けるごとに 5.3 セントの損失となります。

隣接する 2 つの数字に賭ける場合の期待値

2 と 3 または 17 と 20 のような 2 つの隣接する数字 (上下に隣接している) の間にチップを置いて $1 を賭けたとします。

この賭けのペイアウトは、前の賭けとは異なり、17 対 1 です。つまり、$1 を賭けるごとに $17 が返ってきます。この場合、勝利は +$17 になりますが、成功確率 (p) は 2/38 になります。これは、合計 38 個のセルがまだ同じであるにも関わらず、勝つための数字が 2 つあるためです。

一方、負けた場合は、賭けたのと同じ $1 を再び失いますが、負ける確率 (q) は 36/38 になります。この賭けの期待値は次のようになります。

繰り返しになりますが、ルーレットで隣り合う数字のペアに複数回賭けることで、平均して、賭けた 1 ドルごとに 5.3 セントを失うことが予想されます。

数十倍の賭けの期待値

ルーレットで行うことができる 6 つの異なる賭けには、12 の可能な有利な結果が含まれます。そのうちの 3 つは、最初、2 番目、または 3 番目の 12 の数字 (0 または 00 を除く) に賭けることで構成され、残りの 3 つは、ルーレットのテーブルに数字が配置されている 3 つの列の 1 つに賭けることで構成されます。

これらの賭けのペイアウトは 2 対 1 です。つまり、賭けた $1 ごとに $2 を獲得し、$1 を取り戻すことを意味します。12 の異なる数字のバスケットに賭けるので、成功する確率は 12/38 です。最後に、失敗の確率は 26/38 で、同じ $1 の損失 (または -$1 の利益、同じこと) です。

この場合、確率変数の期待値は次のようになります。

赤か黒か、偶数か奇数か、低いか高いかに賭けた場合の期待値

最後に、ルーレットで行うことができる 6 つの異なる賭けがあり、勝った場合の成功確率と支払い額は同じであり、負けた場合の失敗確率と損失額も同じです。すべてについて同じ方法で期待値を計算します。これらの賭けは次のとおりです。

• 赤に賭けます。
• 黒に賭ける
• 偶数に賭ける
• 奇数に賭ける
• 下の18の数字（1から18までの数字）に賭ける
• 上位 18 の数字 (19 から 36 までの数字) に賭ける

これらは非常に異なる賭けのように見えますが、実際にはまったく同じです。彼らはすべて、$1 の賭けごとに $1 を支払い、プラス $1 が返されるので、すべてのネットが +$1 になります。

さらに、それらはすべて同じ確率で成功します (また、補数によって失敗する可能性もあります)。たとえば、1 から 36 までの数字の半分は赤で識別され、残りの半分は黒で識別されるため、赤または黒になる確率は 18/38 です (0 と 36 のセルは00 は緑色で、合計 38 の可能な結果を​​完了します)。

奇数と偶数については、36個連続するので、半分は偶数（2、4、6、8、10、12、…、34、36）、半分は奇数（1、3、…）となります。 5、7、9、11、…、33 および 35)。0 は偶数または奇数とは見なされないため、0 も 00 ボックスも 2 つの結果のいずれにも含まれないことを覚えておく必要があります。

最後に、18 個の低い数字と 18 個の高い数字があるため、いずれかの結果が得られる確率も 18/38 です。

一方、これらすべてのケースでの失敗には、賭けにカウントされなかった数字の残りの半分に 0 と 00 を加えたものが含まれるため、合計 20 の不利な結果が生じる可能性があります。これは、20/38 の失敗確率を意味します。

これらの賭けの期待値は次のとおりです。

これらの結果はどのように解釈されますか?

この結果は、カジノに参加して、たとえば 21 に $1 を賭けた場合、$0.053 を失うことを意味するものではありません。実際には、一度だけプレイすると、家に帰るのは 1 ドル少なくなるか、35 ドル多くなります。

この結果が意味することは、ルーレットに何度も賭け、常に 1 つの数字に賭けた場合、$35 を獲得することもあれば、$1 を失うこともあるが、平均して、賭けた 1 ドルごとに $0.053 を失うことになるということです。

この結果は、カジノが時々幸運なギャンブラーにジャックポットを支払ったとしても、負けたものすべてを勝ち取り、それ以上の利益を得るという事実に言及して、「銀行は常に勝つ」という一般的な言葉を裏付けています。参加者が負けるすべての小さな賭け。

参考文献

DeVore、J.（2002）。工学と科学のための確率と統計(第 5 版)。トムソンインターナショナル。

Elisa, M. (2021 年 4 月 23 日)。ルーレットで勝つ方法: 確率と期待値の概要. 中くらい。https://www.cantorsparadise.com/how-to-win-at-roulette-intro-to-probabilities-and-expected-values-f23baed1065e

統計における期待値: 定義と計算。(2021 年 6 月 8 日)。統計のハウツー。https://www.statisticshowto.com/probability-and-statistics/expected-value/

離散確率変数の平均 (期待値)、分散、および標準偏差 | 物質移動。（2021年1月1日）。メイトモバイル。https://matemovil.com/media-varianza-y-desviacion-estandar-de-una-variable-aleatoria-discreta/

スタディフォース。(2021 年 6 月 8 日)。統計における期待値: 定義と計算[ビデオ]。統計のハウツー。https://www.statisticshowto.com/probability-and-statistics/expected-value/