ポアソン分布の分散の計算方法

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確率変数の分散は、平均の周りの広がりの尺度です。これは、平均の両側での変数の値の平均分散またはその確率分布の振幅を示す量であることを意味します。このパラメーターは、確率分布に関係なく、任意の確率変数にとって重要な量です。

一方、ポアソン 分布は離散確率分布であり、時間間隔内で離散イベントが発生する頻度をモデル化するのに役立ちますが、ワイヤの長さなどの他の連続変数に関連して参照することもできます。、表面など

ポアソン分布は非常に重要です。ATM の切符売り場に並んで到着する人々の数と同じくらい毎日のプロセスをモデル化し、特定の時間間隔での放射性崩壊の数と同じくらい複雑なプロセスをモデリングできるからです。核廃棄物のサンプルから。

ポアソン分布の数学的定義

確率質量関数または PMF が次の形式の場合、確率変数 X はポアソン分布に従います。

式では、λ は分布の常に正のパラメーターであり、x は確率変数が取り得るさまざまな値を表します。ポアソン過程では、パラメータλ は通常、単位時間あたり、単位面積あたりなどの速度または周波数を表します。

後で示すように、λはポアソン分布の平均とその分散です。

この分布関数とその目的がわかったので、分散のより正式な定義、一般的な計算方法、そして最後に、ポアソン分布の特定のケースで分散がどのように計算されるかを見てみましょう。

数学的には、確率変数 X の分散は、統計ではVar(X)で示され、変数の平均からの偏差の二乗の期待値に対応し、次の式で表されます。

_{前の定義を使用して任意の確率変数の分散を計算できますが、次のように}、 1 番目と 2 番目の通常のモーメント、または原点 (m 1 、m 2 ₎の周りのモーメントを使用して、より簡単に計算することもできます。

分散を計算するこの方法は、最初の方法よりも便利なので、この記事でポアソン分布の分散を計算するために使用します。

任意の離散分布について、X の平均または期待値は、最初のモーメントを定義する次の式を使用して決定できることを思い出してください。

最初の項がゼロなので、この合計は x=1 以降から取得できます。また、すべてをλで乗算および除算し、x!/x を(x-1)!に置き換えると、、私達は手に入れました：

この式は、変数y = x – 1を変更して次のように簡略化できます。

合計内の関数は再びポアソン確率関数であり、定義により、1 に等しくなければならない任意の確率関数のゼロから無限大までのすべての確率の合計です。

ポアソン関数の最初のモーメントまたは平均が既にあります。この結果とXの 2 乗の期待値を使用して分散を求めます。

2 番目のモーメントは次の式で与えられます。

x ² を x(x-1)+xで置き換えることで構成されるこの合計を解くには、ちょっとしたトリックを使用できます。

加算の第 2 項で前の結果を使用する場合、 λ ²で乗算および除算して指数λ ^x-2を取得し、変数y = x – 2の変更を適用します。

あとは、分散の式でこれら 2 つのモーメントを置き換えるだけで、期待される結果が得られます。

Devore、J.（2021）。工学と科学のための確率と統計. CENGAGE ラーニング。

ロド、P. (2020 年 11 月 4 日)。ポアソン分布。エコノミペディア。https://economipedia.com/definiciones/distribucion-de-poisson.html

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