Tabla de Contenidos
回転慣性モーメント、または単純に回転慣性は、質量を持つオブジェクトに典型的なスカラー物理量であり、特定の回転軸を中心に回転させることがどれほど難しいかを測定します。これは線形慣性に相当する回転であり、そのため、静止しているか動いているかにかかわらず、オブジェクトの速度を変更することの難しさを表す量です。速度。
この量は、回転運動の説明において非常に重要です。なぜなら、同じ外形と質量を持っていても、トルクの力を受けたときに異なる振る舞いをする物体の振る舞いの違いを理解できるからです。スピン。この違いは、回転軸の周りの物体の質量の分布の違いから生じます。上記は、同じ物体が回転軸に対する位置に応じて異なる回転慣性モーメントを持つ可能性があることを意味し、したがって慣性モーメントを計算するための異なる式が生じます。
以上のことから、慣性モーメントを求める式は、既存のオブジェクトと回転軸の可能な限り多く存在することは明らかです。ただし、実際には自然に発生する軸の周りを回転する規則的な幾何学的形状の特定のケースがいくつかあります。次のセクションでは、これらの物体の回転慣性モーメントを決定するための最も重要な式を見ていきます。
点粒子の慣性モーメントの式
点粒子の慣性モーメントは、この物理量の元の定義に対応します。この式は、回転運動エネルギーを角速度 w で表した式に由来します。
次のように、中心軸の周りを回転する質量mの粒子があるとします。
この粒子の運動エネルギーは、他の移動粒子と同様に、質量と速度 (速度の大きさ) の半分の積を 2 乗した値、つまり 1/2 mv 2 によって決まります。ただし、この粒子が記述する唯一の動きが軸の周りの回転である場合 (並進がない場合)、粒子の線形速度をその角速度の関数として表すことができ、v = rω と書きます。これにより、この場合はもっぱら回転運動エネルギーである運動エネルギーは、次のように表されます。
ここで、粒子の慣性モーメントIは次のように定義されます。
この式で、mは点粒子の質量、rは回転半径、つまり回転軸から粒子までの距離です。
点粒子の集まりの慣性モーメントの式
ここで、軸の周りを回転する単一の粒子はなく、それぞれが特定の質量 m i を持ち、回転軸から距離 r iで回転する n 個の粒子で構成されるシステムがあるとします。、以下に示す 3 粒子システムなど。
この系の総運動エネルギーを計算したい場合は、3 つの粒子それぞれの運動エネルギーを加算するだけで済みます。この考えを n 個の粒子の一般的なケースに拡張し、それらがすべて同じ角速度で移動すると仮定すると (それらは一緒に回転するため)、システムの総回転運動エネルギーは次のように与えられます。
ここから、それぞれが独自の質量と独自の回転半径を持ち、同じ軸の周りを一緒に回転するn 個の粒子のシステムの慣性モーメントの合計は、次の式で与えられます。
この式は、回転軸が球の外側にある限り、点粒子と任意のサイズの球状粒子の両方で機能します。この条件が満たされる場合、半径は球の軸と中心の間の距離に対応し、質量は球の総質量に対応します。
剛体の慣性モーメントの積分式
上記の慣性モーメントの式は、点と離散粒子によって形成されるシステムに適用されます。ただし、巨視的な物体でほぼ起こるのと同じように、連続的な質量分布を持つ剛体に拡張することができます。
これらの場合、慣性モーメントの計算は、ボディを小さな質量要素 (Δm i ) に分割し、それぞれを回転軸から距離 r iに配置してから、前の式を適用することで構成されます。ただし、質量要素のサイズを極限まで押し上げて、極小要素または質量微分 (dm) になると、以下に示すように、合計は積分になります。
これは、形状や質量分布に関係なく、剛体の慣性モーメントを求めるための一般的な式です。ほとんどの場合、積分を実行するために、質量要素dm は、物体の密度に体積差dVを掛けた積に置き換えられます。これにより、質量分布が均一でなくても (位置によってどのように変化するかがわかっている限り)、剛体のボリューム全体にわたって積分を実行できます。
この場合、慣性モーメントの積分式は次のようになります。
次に、さまざまな剛体の前の式をリング、円柱、球体などの規則的な形状と統合した結果を示します。以下で説明するすべてのケースで、考慮される物体の寸法と質量は、それらを積分変数と区別するために大文字で表されます。
中心軸を中心とした半径 R の薄い均一なリングの慣性モーメントの公式
前の方程式を積分する最も単純なケースの 1 つは、対称中心の周りを回転する一様なリングの場合です。次の図は、このケースを示しています。
リングの厚さがその半径に比べて無視できる特定のケースでは、すべての質量要素が本質的に同じ半径になるように、厚さのない円周に沿って分布する質量と見なすことができます。この場合、 R. これらの条件が与えられると、半径は積分から離れ、リングの質量 M である微分質量 dm の積分のみが残ります。結果は次のとおりです。
この式で、CM は、重心周りの慣性モーメントであることを示します。
中心を中心に回転する半径 R の固体球の慣性モーメントの式
以下に示すように、半径 R と均一な密度の固体球の場合、その直径 (その中心を通る軸) の周りを回転します。前の積分はさまざまな方法で解くことができます。球座標系を使用します。
この場合の統合の結果は次のとおりです。
内側半径 R 1および外側半径 R 2の球殻の、その中心に関する慣性モーメントの式
中実の球ではなく、中空の球または厚い壁を持つ球殻である場合、外部と内部の 2 つの半径を考慮する必要があります。これらを次の図に示します。
この場合の解決策は、球状シェルを半径 R2 の球体から、半径 R1 の中心から同じ材料の球体を取り除いたものと見なすことです。大きな球体の質量と、元のシェルの密度から引き出された小さな球体の質量を決定した後、両方の球体の慣性を差し引いて、次の値を取得します。
中心周りの半径 R の薄い球形シェルの慣性モーメントの式
球状シェルの厚さがその半径に比べて無視できる場合、または同じことであるが、R 1 が実質的に R 2に等しい場合、慣性モーメントを質量の表面分布であるかのように計算できます。そのすべてが中心から R の距離にある。
この場合、2 つのオプションがあります。1 つ目は、ゼロから積分を解くことです。2 つ目は、前の結果である厚い球殻の結果を使用して、R1 が R2 に向かうときの極限を取得することです。結果は次のとおりです。
長さ L の細い棒の、重心を通る垂直軸を中心とした慣性モーメントの式
細い棒がある場合、本質的には、そのプロファイルの形状に関係なく (つまり、円筒形、正方形、またはその他の形状の棒であるかどうかに関係なく)、質量の線形分布と考えることができます。これらの場合、唯一重要なことは、生地がバーの長さに沿って均等に分布していることです.
この場合、慣性モーメントは次のように表されます。
長さ L の細い棒の、一方の端を通る垂直軸を中心とした慣性モーメントの式
これは上記と同じケースですが、バー全体が一方の端から垂直な軸を中心に回転しています。
バーの質量は平均して回転軸から離れているため、慣性モーメントは大きくなります。実際、次の式が示すように、前のケースの 4 倍です。
この場合、軸は重心を通過しないため、慣性モーメント記号の CM 下付き文字は省略されていることに注意してください。
中心軸を中心とした半径 R の中実円筒棒の慣性モーメントの式
このケースは、円柱座標系を使用し、円柱を同じ長さの同心の円柱シェルで形成されているかのように考えると、非常に簡単な方法で解決されますが、半径は異なります。次に、半径を r = 0 から r = R まで積分します。
このプロセスの結果は、次のような円筒形バーの慣性の公式です。
なお、この結果は円柱の長さに依存しないので、円盤の場合も同様の式が使えます。
内部半径 R 1および外部半径 R 2の中空円筒の中心軸周りの慣性モーメントの式
この場合は、厚い球殻の場合と似ています。これは、シェルの厚さ、またはその外半径と内半径の差が半径自体と同じオーダーである場合に適用されるため、質量が表面に集中しているとは考えられません。それどころか、シェルの厚さに沿った質量の 3 次元分布であると考える必要があります。
厚い球殻の場合と同様に、内径 R 1と外径 R 2の中空円筒の慣性モーメントは、直接積分によって、または慣性モーメントを減算することによって求めることができます。中央の穴を開けるときに引き出された円柱と、シェルと同じ密度を持つ固体円柱の慣性モーメントを、これら 2 つの慣性それぞれについて前のセクションの式を使用して求めます。
これら 2 つの戦略のどちらの結果も同じで、以下に示します。
前のケースと同様に、この結果は円柱の長さに依存しないため、この結果を使用して、中心に穴のある円盤の慣性モーメントを計算できます。たとえば、ワッシャーやブルーレイディスク。
中心軸を中心とした半径 R の薄い円筒形シェルの慣性モーメントの式
次の図に示すような中空の円柱があり、円柱のシェルの厚さが円柱の半径に比べて非常に小さい場合、質量は半径 R の表面にのみ分布していると仮定できます。 .
他の場合と同様に、面質量密度を使用して直接積分を実行するか、R1 が R2 に向かう限界で厚い円筒シェルの結果を評価できます。結果は次のとおりです。
繰り返しますが、この結果は長さに依存しないことに注意してください。これは、薄いフープにも同様に適用されることを意味します。実際、薄いリングに相当する部分で得られた結果と同じであることが確認できます。
中心を通る垂直軸を中心とした正四角形プレートの慣性モーメントの式
最後に、以下に示すように、重心を通り、その表面のいずれかに垂直な軸を中心に回転する長方形のプレートの場合を考えてみましょう。
直接統合の結果は次のとおりです。
前の例と同様に、この結果はプレートの高さや厚さとは無関係であるため、固いセメント ブロックと同じように紙にも同じように適用されます。
参考文献
カーンアカデミー。（nd）。回転慣性 (記事) . https://en.khanacademy.org/science/physics/torque-angular-momentum/torque-tutorial/a/rotational-inertia
ワンクラス。（2020年10月6日）。OneClass: ロッドの慣性モーメントの式から始めます。https://oneclass.com/homework-help/physics/6942744-moment-of-inertia-bar.en.html
Serway, RA, Beichner, RJ, & Jewett, JW (1999). 現代物理学を持つ科学者と技術者のための物理学: 2: 第 1 巻(第 5 版)。マグロウ・ヒル。
スナップソルブ。（nd）。中空の厚い球殻の慣性モーメント。https://www.snapsolve.com/solutions/Themoment-of-inertia-of-a-hollow-thick-spherical-shell-of-mass-M-and-its-inner-r-1681132593667073
