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In matematica, i numeri primi sono uno degli argomenti comuni quando si studiano i numeri interi. Poiché i numeri primi sono infiniti, un esercizio interessante da esercitarsi con essi è scoprire qual è la probabilità che un numero da 1 a X scelto a caso sia un numero primo.
Cosa sono i numeri primi
I numeri primi sono quelli divisibili solo per 1 e per se stessi, cioè per il numero in questione. Ciò significa che se diviso per qualsiasi altro numero, il risultato non fornisce un numero intero. Si ritiene inoltre che esista un numero infinito di numeri primi.
A differenza dei numeri primi, i numeri composti sono quelli che possono essere divisi per 1, per se stessi e per altri numeri.
Il numero 1 non è considerato un numero primo, né è un numero composto.
Numeri primi e Crivello di Eratostene
Per trovare rapidamente tutti i numeri primi, il matematico greco Eratostene (III secolo aC) creò un modo rapido per ottenere tutti i numeri primi fino a un certo numero. Questo metodo è noto come “crivello di Eratostene”.
Il Crivello di Eratostene è un algoritmo che permette di conoscere tutti i numeri primi minori di un dato numero naturale. Per fare ciò viene creata una tabella con tutti i numeri naturali compresi tra 2 e il numero scelto (n). In questo esempio, n è 100.
Quindi, i numeri che non sono primi vengono cancellati. Innanzitutto, inizia con 2 e cancella tutti i suoi multipli. Quando viene trovato un numero non incrociato, tutti i suoi multipli vengono cancellati e così via. Questa procedura termina quando si ottiene il quadrato del numero successivo confermato come primo maggiore di “n”.
Utilizzando il Crivello di Eratostene otterremo 25 numeri primi compresi tra 0 e 100: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61 , 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.
Altri esempi di numeri primi
Altri esempi di numeri primi compresi tra 100 e 1000 sono: 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197 , 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293, 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349 , 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397, 401, 409, 419, 421, 431, 433, 439, 443, 449, 457, 461, 463, 467, 479, 487, 491, 499 , 503, 509, 521, 523, 541, 547, 557, 563, 569, 571, 577, 587, 593, 599, 601, 607, 613, 617, 619, 631, 641, 643, 647, 653, 659 , 661, 673, 677, 683, 691, 701, 709, 719, 727, 733, 739, 743, 751, 757, 761, 769, 773, 787, 797, 809, 811, 821, 823, 827, 829 , 839, 853, 857, 859, 863, 877, 881, 883, 887, 907, 911, 919, 929, 937, 941, 947, 953, 967, 971, 977, 983, 991 e 997.
problema dei numeri primi
Come quasi sempre accade in matematica, il modo migliore per capire come vengono calcolati i numeri primi è risolvere problemi. Vediamo ora un semplice problema per sapere con quale probabilità possiamo selezionare un numero primo.
Per prima cosa, sceglieremo un numero intero positivo, che può essere 1, 2, 3, ecc., fino a un certo numero X. Quindi, dobbiamo scegliere a caso uno di questi numeri. Ciò significa che tutti gli X numeri hanno probabilità di essere scelti.
La soluzione a questo problema è semplice per i numeri X bassi. Il problema si risolve seguendo questi passaggi:
- Primo passo:
- Conta il numero di numeri primi che sono minori o uguali a X.
- Secondo passo:
- Dividi il numero di numeri primi minori o uguali a X per il numero stesso X. Cioè, se vogliamo conoscere la probabilità di scegliere un certo numero primo da 1 a 10, dobbiamo dividere il numero di numeri primi per 10.
Ad esempio, per trovare la probabilità che venga selezionato un numero primo da 1 a 10 dobbiamo dividere il numero di numeri primi per 10. Poiché ci sono 4 numeri primi da 1 a 10: 2, 3, 5, 7, la probabilità di selezionare un numero primo è: 4/10 = 0,4, cioè 40%.
Allo stesso modo, se vogliamo sapere quali sono le probabilità che venga selezionato un numero primo da 1 a 50, si possono eseguire i passaggi precedenti. Contiamo i numeri primi minori di 50, che sono 15: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43 e 47. E dividiamo questa quantità per 50: 15 /50 = 0,3, cioè 30%. Pertanto, esiste una probabilità del 30% di scegliere un numero primo compreso tra 1 e 50.
Qual è il teorema dei numeri primi
Un altro modo per conoscere i numeri primi fino a un certo numero e calcolare la probabilità di sceglierne uno è usare il Teorema dei numeri primi . Questo teorema fu enunciato dal matematico tedesco Gauss durante il XVIII secolo, e dimostrato quasi un secolo dopo da altri matematici, come il francese Jacques Hadamard e il belga Charles-Jean de la Vallée Poussin.
Il teorema dei numeri primi afferma che esistono approssimativamente X / ln(X) di numeri primi minori o uguali a X. In questa affermazione:
- ln(X): è il logaritmo naturale di X.
- X: è il numero fino al quale vogliamo conoscere i numeri primi.
All’aumentare del valore di X, l’errore relativo tra il numero di numeri primi minori di X e l’affermazione X / In(X) diminuisce.
Come applicare il teorema dei numeri primi
Con il Teorema dei Numeri Primi possiamo risolvere problemi simili al precedente, soprattutto se vogliamo conoscere i numeri primi tra quantità maggiori di numeri.
Per il teorema dei numeri primi, sappiamo che esistono approssimativamente X/ln(X) numeri primi minori o uguali a X. Inoltre, esiste un totale di X interi positivi minori o uguali a X. Pertanto, la probabilità che un numero selezionato a caso in questo intervallo è primo è: ( X / ln(X) ) / X = X / ( ln(X) . X ) = 1 / ln(X).
Ad esempio, possiamo usare quel risultato per calcolare, approssimativamente, la probabilità di selezionare casualmente un numero primo tra il primo milione di numeri interi.
Per fare questo, dobbiamo calcolare il logaritmo naturale di un milione. Pertanto, abbiamo:
P(1.000.000) = (X/ln(X) / X = 1 / ln(X)
P(1.000.000) = 1 / ln(1.000.000)
Quindi otteniamo ln(1.000.000) = 13,8155 e 1 / ln(1.000.000) è approssimativamente 0,07238. Pertanto, abbiamo circa il 7,238% di possibilità di scegliere casualmente un numero primo dal primo milione di numeri interi.
Bibliografia
- López Mateos, M. Matematica di base. (2017). Spagna. Crea spazio.
- sa. Il libro di matematica. (2020). Spagna. sa.
- Gracian, E. Numeri primi: una lunga strada verso l’infinito. (2010). Spagna. Libri dell’RBA.
