La forma pendenza-intercetta dell’equazione lineare

La forma pendenza-intercetta di un’equazione di primo grado è un modo per esprimere quell’equazione nella forma dell’equazione di una retta . In altre parole, si esprime con la stessa forma matematica di una funzione che, rappresentata graficamente in un sistema di coordinate cartesiane, risulta in una retta. Un’equazione lineare così espressa ha la seguente forma matematica:

Come si vede, questo modo di rappresentare le equazioni lineari è caratterizzato dall’avere la variabile che comunemente consideriamo come variabile dipendente (nella maggior parte dei casi e , anche se questa può variare) isolata in uno dei membri dell’equazione (solitamente il sinistro) con coefficiente 1; mentre l’altro membro è composto da un termine che contiene la variabile indipendente (solitamente x ) e un termine indipendente.

Interpretazione dell’equazione lineare in forma pendenza-intercetta

Quando espresso in questo modo, il coefficiente della variabile indipendente, in questo caso m , rappresenta la pendenza della retta quando questa equazione è rappresentata graficamente in un sistema di coordinate cartesiane.

Il termine indipendente invece, in questo caso b , indica il punto in cui la retta taglia o interseca l’asse delle ordinate o l’asse y, come mostrato nel grafico seguente. Questo è precisamente il motivo per cui si chiama forma di intercettazione del pendio.

Interpretazione della pendenza

La pendenza ( m ) indica di quanto cambia il valore di y di un punto sulla retta aumentando di una unità il valore di x , quindi rappresenta la pendenza della retta. Questo valore può essere qualsiasi numero razionale, sia positivo che negativo. Esistono tre possibili intervalli di valori che vengono interpretati in modo diverso:

• Una pendenza positiva (m>0) indica che la linea sale mentre ci spostiamo da sinistra a destra sul grafico.
• Quando il termine della variabile indipendente non compare (cioè quando non c’è x nell’equazione) significa che la pendenza è zero (m=0). In questo caso, la linea è orizzontale o parallela all’asse delle ascisse (asse x).
• Quando la pendenza è negativa (m<o), la linea scende mentre ci spostiamo da sinistra a destra sul grafico.

Interpretazione dell’intersezione

Il termine indipendente, b , rappresenta il punto di intersezione della linea con l’asse delle ordinate, cioè con l’asse y nel sistema di coordinate cartesiane. Nei casi in cui non esiste un termine indipendente, si intende che il suo valore è zero (b=0) quindi la retta passa per l’origine del sistema di coordinate.

Casi particolari dell’equazione di una retta in forma pendenza-intercetta

Caso 1: y = b

Quando l’equazione ha la forma precedente, cioè quando non compare il termine della variabile indipendente , si intende che la pendenza è nulla e che, quindi, l’equazione rappresenta una retta orizzontale passante per il punto (0;b ).

Caso 2: y = mx

Quando non esiste un termine indipendente, significa che il suo valore è zero e, pertanto, interseca l’asse y in 0. Ciò significa che la linea passa per l’origine del sistema di coordinate.

Caso 3: 0 = mx + b

In questo caso è costituito da una linea verticale (parallela all’asse y) che interseca l’asse delle ascisse (o asse x) nel punto x = – b/m, come mostrato nel grafico precedente.

Questa è una forma insolita dell’equazione di una retta in cui il coefficiente m e il termine indipendente b perdono il loro significato normale. Una linea verticale ha una pendenza indefinita, cioè la sua pendenza non esiste. Questo non equivale a dire che la sua pendenza è zero.

D’altra parte, poiché è una linea verticale parallela all’asse y, non interseca mai quell’asse. Pertanto, il termine indipendente, b, non indica più l’intersezione come nei casi precedenti.

Vantaggi della forma pendenza-intercetta

Rispetto agli altri modi di rappresentare le equazioni lineari, la forma pendenza-intercetta presenta i seguenti vantaggi:

• Restituisce immediatamente i valori della pendenza e dell’intercetta della retta.
• Quanto sopra permette di visualizzare in modo molto semplice e veloce il grafico di un’equazione lineare in un sistema di coordinate cartesiane.
• Fornendo il valore della pendenza, permette di calcolare velocemente l’angolo che la retta forma con l’asse x utilizzando la tangente.
• Ti permette di sapere velocemente se due rette sono parallele tra loro oppure no, semplicemente confrontando le loro pendenze.
• Ti consente di determinare rapidamente se due linee sono o meno perpendicolari tra loro.
• Basta osservare la forma dell’equazione per sapere immediatamente se si tratta di una linea crescente, decrescente, orizzontale o verticale.
• Consente di calcolare la coordinata y di qualsiasi punto sulla linea dato il suo valore x in un solo passaggio.
• Facilita il metodo di sostituzione per risolvere sistemi di equazioni lineari di due variabili perché l’equazione è già risolta per una di esse (y).

Passi per trasformare la forma standard in forma di intercettazione pendenza

Oltre alla forma pendenza-intercetta, l’equazione di una retta può essere rappresentata anche in altri modi, il più importante dei quali è la forma standard:

In questo caso, i coefficienti A, B e C sono numeri interi. Quando hai un’equazione espressa in questo modo e vuoi scriverla nella forma pendenza-intercetta, devi solo seguire i seguenti passaggi:

Passaggio 1: Ax viene sottratto da entrambi i lati dell’equazione.

Passaggio 2: tutti i coefficienti e il termine indipendente sono divisi per il coefficiente B (compreso il suo segno).

Passaggio 3: Se possibile, semplifica qualsiasi frazione risultante dalla divisione.

Esempi di trasformazione da forma standard a forma pendenza-intercetta

Esempio 1: 3x + 2y = 4

Passo 1:

Passo 2:

Passaggio 3:

Come puoi vedere, questa equazione corrisponde a una linea discendente che interseca l’asse y in 2.

Esempio 2: x – 4y = 6

Passo 1:

Passo 2:

Passaggio 3:

In questo caso, il risultato è una linea discendente che interseca l’asse y a -1,5.

Riferimenti

• Rappresentazione grafica di equazioni in forma pendenza-intercetta (sf). Estratto da https://content.nroc.org/Algebra.HTML5/U04L1T3/TopicText/es/text.html
• Accademia Khan (nd). Introduzione alla forma pendenza-intercetta | Algebra (articolo) . Estratto il 20 luglio 2021 da https://www.khanacademy.org/math/algebra/x2f8bb11595b61c86:forms-of-linear-equations/x2f8bb11595b61c86:intro-to-slope-intercept-form/a/introduction-to-slope -forma-di-intercetta
• MiProfe (2020, 12 maggio). Equazione della retta nella sua forma pendenza-intercetta . Estratto il 20 luglio 2021 da https://miprofe.com/ecuacion-de-la-recta-en-su-forma-pendiente-interseccion/
• Rodrigo, R. (2020, 18 settembre). ▷ Equazioni lineari: intercetta, forma standard e grafici . Estratto il 20 luglio 2021 da https://estudyando.com/ecuaciones-lineales-intersecciones-forma-estandar-y-graficos/