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In probabilità, il valore atteso di una variabile casuale si riferisce al valore medio di un gran numero di volte in cui la variabile si verifica . Viene calcolato come media ponderata di tutti i possibili valori della variabile casuale, dove il fattore di ponderazione non è altro che la probabilità che ciascun valore si verifichi.
La probabilità è un’area di studio di grande importanza nel campo dei giochi d’azzardo, tra cui la roulette è una delle più popolari e facili da capire.
Cos’è la roulette e come si gioca?
Una tipica ruota della roulette americana consiste in una ruota con una serie di slot etichettati da 1 a 36, 18 dei quali sono neri mentre gli altri 18 sono rossi. Inoltre, sono presenti due celle o fessure verdi poste alle estremità opposte della ruota identificate rispettivamente con i numeri 0 e 00, per un totale di 38 celle.
Ci sono anche le roulette francesi, che non hanno la casella 00 e quindi hanno 37 caselle in totale.
Il gioco consiste nel far girare la ruota mentre una pallina viene lanciata nella direzione opposta. Mentre lo spinner e la pallina rallentano, la pallina finisce per finire in una delle 37 o 38 tasche o fessure. Prima che la pallina si fermi, i partecipanti possono fare diversi tipi di scommesse. Alcune delle possibili puntate sono:
- Scommetti su un numero specifico (di solito paga 35:1)
- Scommetti su due numeri adiacenti (generalmente paga 17:1)
- Scommetti su rosso o nero (di solito paga 1:1)
- Numeri pari o dispari (di solito paga 1:1)
- Puntata bassa o alta, cioè i primi 18 numeri (da 1 a 18) o gli ultimi 18 (da 19 a 36) (generalmente paga 1:1)
- Prima dozzina (1-12) (di solito paga 2:1)
- Seconda dozzina (da 13 a 24) (di solito paga 2:1)
- Terza dozzina (da 25 a 36) (di solito paga 2:1)
Come puoi vedere, ciascuna di queste scommesse offre una vincita specifica, che dipende dalla probabilità che si verifichi.
Successivamente, calcoleremo il valore atteso delle vincite in base ai diversi tipi di puntate che possiamo effettuare in una roulette americana. I risultati ottenuti qui sono facilmente estrapolabili alla roulette francese, semplicemente cambiando il numero totale di possibili risultati nei denominatori di tutte le probabilità.
In tutti i casi, determineremo il valore atteso del profitto per ogni dollaro che scommettiamo, sebbene il valore numerico possa essere riportato in qualsiasi altra valuta. Inoltre, moltiplicando questo valore atteso per il valore effettivo della scommessa si otterrà il valore atteso di quella scommessa. Quindi, se invece di puntare $ 1 puntiamo $ 100, dobbiamo solo moltiplicare il valore atteso della scommessa $ 1 per 100.
Formula per calcolare il valore atteso di una scommessa alla roulette
La variabile casuale di cui vogliamo determinare il valore atteso è la somma di denaro che vinceremo, in media, se effettuiamo la stessa puntata alla roulette un gran numero di volte. Quando facciamo una scommessa, stiamo conducendo un esperimento che ha solo due possibili esiti: vincere o perdere. Vinceremo se la pallina si ferma in una casella che corrisponde alla nostra scommessa, altrimenti perderemo.
Se chiamiamo X il profitto ottenuto scommettendo (la nostra variabile aleatoria), p la probabilità di successo, x 1 il profitto che otterremo se vinciamo, q la probabilità di fallimento e x 2 il profitto (o la perdita) che avremo se perdiamo, allora possiamo calcolare il valore atteso di una scommessa come:
Ora vedremo come applicare questa formula alle diverse puntate che possiamo effettuare.
Valore atteso delle puntate su un particolare numero alla roulette
Supponiamo di scommettere $1 su un particolare numero (0, 00, 1, 2, 3, …).
La vincita per questa scommessa, se dovessimo vincere, è di 35 a 1, il che significa che riceviamo $ 35 per ogni $ 1 che scommettiamo, più riceviamo $ 1 scommesso. Diremo quindi che il valore della nostra variabile casuale in caso di successo (x 1 ) sarà, in questo caso, +$35, poiché quello è il profitto netto. La probabilità di successo (p) è 1/38, poiché ci sono in totale 38 diverse caselle in cui può cadere la pallina mentre solo 1 con cui vinceremo.
D’altra parte, se la pallina si ferma su qualsiasi altro numero, perdiamo la scommessa, nel qual caso la casa tiene $ 1 che abbiamo scommesso. Pertanto, il nostro “profitto” sarà -$1 poiché in realtà perdiamo denaro. La probabilità di perdere (q) è 37/38, poiché qualsiasi casella diversa dal numero su cui abbiamo scommesso ci farà perdere. Con questi dati, possiamo applicare la formula e determinare il valore atteso di questa scommessa:
In altre parole, il valore atteso della scommessa su un numero particolare nella roulette è una perdita di 5,3 centesimi per ogni dollaro scommesso.
Valore atteso delle puntate su due numeri adiacenti
Supponiamo di scommettere $ 1 piazzando una fiche tra due numeri adiacenti, come 2 e 3 o 17 e 20 (che sono adiacenti verticalmente).
La vincita per questa scommessa, a differenza della precedente, è di 17 a 1, il che significa che otteniamo $ 17 indietro per ogni $ 1 scommesso, più riceviamo $ 1 indietro. La vincita sarà, in questo caso, +$17, mentre la probabilità di successo (p) sarà 2/38, poiché ci sono due numeri che ci faranno vincere mentre ci sono sempre le stesse 38 caselle in totale.
D’altra parte, se perdiamo, perdiamo di nuovo lo stesso $ 1 che abbiamo scommesso, ma la probabilità di perdere (q) è ora 36/38. Il valore atteso di questa scommessa è quindi:
Ancora una volta, si prevede che scommettendo più volte su qualsiasi coppia di numeri adiacenti alla roulette, in media perderemo 5,3 centesimi per ogni dollaro scommesso.
Valore previsto delle scommesse per dozzine
Ci sono sei diverse puntate che possiamo fare alla roulette che includono una dozzina di possibili esiti favorevoli; tre di esse consistono nel puntare sulla prima, seconda o terza dozzina di numeri (esclusi 0 o 00), e le altre tre consistono nel puntare su una delle tre colonne in cui sono disposti i numeri sul tavolo della roulette.
La vincita per ciascuna di queste scommesse è di 2 a 1, il che significa che vinciamo $ 2 per ogni $ 1 scommesso e riceviamo indietro $ 1. La probabilità di successo è 12/38 poiché stiamo scommettendo su un paniere di 12 numeri diversi. Infine, la probabilità di fallimento è 26/38 con la stessa perdita di $1 (o guadagno di –$1, che è la stessa cosa).
Il valore atteso della nostra variabile casuale è, in questo caso:
Valore atteso delle puntate su rosso o nero, pari o dispari, o puntate basse o alte
Infine, ci sono altre sei diverse puntate che possiamo fare alla roulette che presentano sia la stessa probabilità di successo, sia la stessa vincita se vinciamo, così come la stessa probabilità di fallimento e la stessa perdita di denaro se perdiamo, quindi calcoleremo il loro valore atteso allo stesso modo per tutti. Queste scommesse sono:
- Scommetti sul rosso.
- puntare sul nero
- Scommetti sui numeri pari
- Scommetti sui numeri dispari
- Scommetti sui 18 numeri inferiori (i numeri da 1 a 18)
- Scommetti sui 18 numeri alti (i numeri dal 19 al 36)
Sebbene sembrino scommesse molto diverse, in realtà sono esattamente le stesse. Tutti pagano $ 1 per ogni $ 1 scommesso, più $ 1 restituito, quindi guadagnano tutti + $ 1.
Inoltre, hanno tutti la stessa probabilità di successo (e, per complemento, di fallimento). Ad esempio, metà dei numeri da 1 a 36 sono identificati con il colore rosso mentre l’altra metà è identificata con il nero, quindi c’è una probabilità del 18/38 che esca rosso o nero (ricordiamo che le celle di 0 e 00 sono verdi, completando così il totale di 38 risultati possibili).
Per quanto riguarda i numeri pari e dispari, essendoci 36 numeri consecutivi, metà saranno pari (2, 4, 6, 8, 10, 12, ,…,34 e 36) e l’altra metà saranno dispari (1, 3 , 5, 7, 9, 11, …,33 e 35). Dobbiamo ricordare che lo zero non è considerato un numero pari o dispari, quindi né la casella 0 né quella 00 fanno parte di nessuno dei due risultati.
Infine, ci sono 18 numeri bassi e 18 numeri alti, quindi anche la probabilità di ottenere un risultato o l’altro è 18/38.
D’altra parte, il fallimento in tutti questi casi include l’altra metà dei numeri non conteggiati nella scommessa più 0 e 00, quindi ci sono un totale di 20 possibili esiti avversi. Ciò implica una probabilità di fallimento di 20/38.
Il valore atteso di una qualsiasi di queste scommesse è quindi:
Come vengono interpretati questi risultati?
Questo risultato non significa che se entriamo in un casinò e scommettiamo $1 su 21, per esempio, perderemo $0,053. In realtà, se giochiamo solo una volta , andremo a casa $1 in meno o $35 in più.
Questo risultato significa che se scommettiamo molte volte alla roulette e scommettiamo sempre su un singolo numero, a volte vinceremo $ 35 e altre volte perderemo $ 1, ma in media finiremo per perdere $ 0,053 per ogni dollaro scommesso.
Questo risultato conferma il detto popolare secondo cui “il banco vince sempre”, riferito al fatto che, anche se un casinò a volte paga un jackpot a qualche giocatore fortunato, finirà sempre per vincere tutto ciò che ha perso, e molto di più. tutte le piccole scommesse in cui i partecipanti perdono.
Riferimenti
Devore, J. (2002). Probabilità e statistica per l’ingegneria e le scienze (5a ed.). Thompson International.
Elisa, M. (2021, 23 aprile). Come vincere alla roulette: introduzione alle probabilità e ai valori attesi . Medio. https://www.cantorsparadise.com/how-to-win-at-roulette-intro-to-probabilities-and-expected-values-f23baed1065e
Valore atteso in statistica: definizione e calcoli . (2021, 8 giugno). Statistiche Come. https://www.statisticshowto.com/probability-and-statistics/expected-value/
Media (valore atteso), varianza e deviazione standard della variabile casuale discreta | matermobile . (2021, 1 gennaio). MateMobile. https://matemovil.com/media-varianza-y-desviacion-estandar-de-una-variable-aleatoria-discreta/
Forza di studio. (2021, 8 giugno). Valore atteso nelle statistiche: definizione e calcoli [Video]. Statistiche Come. https://www.statisticshowto.com/probability-and-statistics/expected-value/
