Regola di moltiplicazione per eventi indipendenti

Ci sono molte situazioni in cui siamo interessati a trovare la probabilità che due eventi si verifichino contemporaneamente. Alcuni di loro sono:

• Trova la probabilità di ottenere un doppio sei lanciando due dadi contemporaneamente o uno dopo l’altro.
• Trova la probabilità che una persona scelta a caso da un gruppo sia sia donna che di carnagione scura.
• La probabilità di scegliere una coppia di studenti di sesso opposto da una sezione della scuola.
• La probabilità che due sistemi di controllo ridondanti falliscano contemporaneamente durante il lancio di un razzo spaziale.

Questa classe di problemi può essere risolta mediante la regola generale della moltiplicazione delle probabilità. Questa regola stabilisce che, per due eventi A e B, la probabilità che si verifichino contemporaneamente, cioè la probabilità di intersezione, è data da:

In questa equazione, P(A|B) è la probabilità condizionata che si verifichi l’evento A dato B. Quanto sopra è la regola di moltiplicazione generale e si applica a qualsiasi coppia di eventi. In alcuni casi, la probabilità condizionata è sconosciuta o difficile da determinare; tuttavia, nel caso di eventi indipendenti, tale probabilità viene semplificata per dar luogo alla regola della moltiplicazione per eventi indipendenti.

Regola di moltiplicazione per eventi indipendenti

Cosa sono gli eventi indipendenti?

Due eventi A e B sono indipendenti l’uno dall’altro se il verificarsi di uno di essi non influisce sulla probabilità che si verifichi l’altro. In termini matematici, ciò implica che la probabilità condizionata che si verifichi uno dei due eventi, dato che sappiamo che l’altro si è verificato, è uguale alla probabilità semplice che si verifichi il primo. In altre parole, due eventi saranno indipendenti solo se:

L’interpretazione di quanto sopra è che la probabilità che si verifichi A, dato che si è verificato B, è uguale alla probabilità che si verifichi A. Ciò implica che il verificarsi di B non ha influenzato la probabilità che si verifichi A, quindi entrambi gli eventi si verificano in modo indipendente. modo.

Qualsiasi coppia di eventi che non soddisfa la condizione di cui sopra sarà eventi dipendenti.

Come viene influenzata la regola di moltiplicazione in questo caso?

Come si vede, la prima espressione della condizione di indipendenza può essere utilizzata per semplificare la regola generale della moltiplicazione, in quanto il primo fattore può essere sostituito dalla semplice probabilità di A, ottenendo così la seguente espressione:

L’espressione di cui sopra è nota come regola di moltiplicazione delle probabilità per eventi indipendenti . Ciò implica che se sappiamo che due eventi sono indipendenti l’uno dall’altro e conosciamo le loro probabilità di accadimento, allora possiamo trovare la probabilità che entrambi si verifichino contemporaneamente semplicemente moltiplicando queste probabilità.

Esempi di eventi indipendenti

La mancanza di informazioni può rendere difficile identificare se due eventi sono indipendenti. Ad esempio, potremmo pensare che avere i capelli castani non abbia nulla a che fare con l’insorgenza del cancro al seno, ma la fisiologia del corpo umano è così complessa che nessun medico oserebbe fare questa affermazione.

Tuttavia, ci sono molti semplici esperimenti in cui possiamo facilmente identificare se due eventi sono indipendenti o meno.

• Lancia due dadi contemporaneamente. Quando si lanciano due dadi, il risultato di uno non influisce in alcun modo sul risultato che potrebbe apparire sull’altro, quindi l’evento in cui un dado si ferma su un dato numero è indipendente dall’evento in cui l’altro dado si ferma su un altro numero. oppure lo stesso, anche.
• Anche i risultati del lancio dello stesso dado due volte di seguito sono indipendenti l’uno dall’altro per gli stessi motivi.
• Lancia una moneta due volte. Il fatto che ottenga testa o croce la prima volta non influirà sull’esito del lancio successivo.
• In una fabbrica di frigoriferi che ha due linee di produzione indipendenti per componenti che utilizzano materie prime e manodopera separate, è accettabile assumere che la probabilità che uno dei due componenti si guasti sia indipendente dalla probabilità che si guasti l’altro.
• Pescare a caso una carta o un mazzo da un mazzo, sostituirlo e poi pescare a caso un’altra carta dal mazzo sono eventi separati, poiché la sostituzione della carta originale nel mazzo ripristina le possibilità di pescare una qualsiasi delle carte originali.

Esempi di eventi non indipendenti

• Pescare a caso una carta o un mazzo da un mazzo e poi pescare un’altra carta dallo stesso mazzo senza sostituire la prima non sono eventi indipendenti, poiché pescare la prima riduce il numero totale di carte presenti nel mazzo, il che influisce sulla probabilità di eventuali altra carta in uscita. Inoltre, se non sostituiamo la prima carta, la probabilità che quella carta esca la seconda volta diventa zero.
• In un’auto in marcia, la probabilità che il motore dell’auto si surriscaldi e la probabilità che la pompa dell’acqua che raffredda il motore si guasti non sono eventi indipendenti, poiché se la pompa dell’acqua si guasta, diventa molto più probabile che il motore si surriscaldi.
• Un esempio ancora più facile da capire è che ottenere buoni voti in statistica non è indipendente dallo studio , poiché se studiamo, è più probabile che otteniamo buoni voti.

Esempi di calcoli di probabilità utilizzando la regola di moltiplicazione per eventi indipendenti

Esempio 1: lancio di una moneta due volte

Supponiamo di voler calcolare la probabilità che, lanciando due volte una moneta, il risultato sia testa su entrambi i lanci.

Se chiamiamo A l’evento in cui il primo lancio esce testa e B l’evento in cui il secondo lancio esce testa, allora la probabilità che ci viene chiesto di calcolare è la probabilità di intersezione di A con B, poiché vogliamo che entrambi gli eventi si verifichino . Cioè, l’incognita è P(A∩B).

Poiché ci sono solo due possibili esiti per ogni lancio, la probabilità che entrambi gli eventi si verifichino è la stessa:

Ora, poiché sappiamo che gli eventi sono indipendenti, possiamo usare la regola della moltiplicazione per determinare la probabilità di intersezione:

Esempio 2: Lancio di due dadi

Calcoliamo la probabilità che, tirando due comuni dadi a sei facce, uno di essi cada su uno e il secondo su un numero pari.

Chiamiamo i seguenti eventi A e B:

       A = uno dei dadi si ferma su 1.

       B = uno dei dadi si ferma su un numero pari.

Ciò che vogliamo calcolare è, ancora una volta, P(A∩B).

Poiché il risultato di ogni dado è indipendente dal numero che dà come risultato l’altro, possiamo calcolare P(A∩B) usando la regola di moltiplicazione per eventi indipendenti. Ma prima, abbiamo bisogno delle probabilità di A e B.

Il dado ha 6 facce con i numeri da 1 a 6, che non si ripetono. Pertanto, c’è solo un 1 e ci sono tre numeri pari, vale a dire 2, 4 e 6. Pertanto, le probabilità che si verifichino eventi separati sono:

Usando queste probabilità e la regola di moltiplicazione, otteniamo la probabilità desiderata:

Esempio 3: Parti che falliscono

Una fabbrica che costruisce apparecchiature informatiche utilizza, tra gli altri componenti, due diversi chip o circuiti integrati di due diversi produttori. Secondo il produttore del primo chip, la probabilità che si guasti in condizioni operative normali è 0,00133. Da parte sua, il secondo produttore si vanta che solo due dei suoi chip falliscono ogni 5.000 unità installate. Il proprietario della fabbrica vuole trovare la probabilità che entrambi i componenti si guastino contemporaneamente. Il fallimento di ciascuna marca di chip può essere considerato indipendente dall’altro.

In questo caso, l’affermazione stessa specifica che i due eventi sono indipendenti, quindi possiamo usare la regola di moltiplicazione sopra. Inoltre, viene fornita anche la probabilità di guasto del primo chip, che chiameremo evento A. La probabilità di guasto del secondo chip (evento B) può essere calcolata dalle informazioni fornite dal produttore:

Quindi la probabilità che entrambi i componenti falliscano contemporaneamente è:

Riferimenti

Probabilità condizionale e indipendenza . (nd). Salute dell’Università della Florida. https://bolt.mph.ufl.edu/6050-6052/unit-3/module-7/

Devore, JL (1998). PROBABILITÀ E STATISTICA PER L’INGEGNERIA E LE SCIENZE . International Thomson Editori, SA

Frost, J. (2021, 10 maggio). Regola di moltiplicazione per il calcolo delle probabilità . Statistiche di Jim. https://statisticsbyjim.com/probability/multiplication-rule-calculating-probabilities/

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