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La logica è una branca della matematica e parte di essa è la teoria degli insiemi. Le leggi di De Morgan sono due postulati sull’interazione tra insiemi. Queste leggi registrano antecedenti in Aristotele e Guglielmo di Ockham. Augustus De Morgan visse tra il 1806 e il 1871 e fu il primo a includere le leggi da lui postulate nella struttura formale della logica matematica.
Operatori nella teoria degli insiemi
Prima di passare ai postulati di De Morgan, diamo un’occhiata ad alcune definizioni della teoria degli insiemi.
Se esistono due insiemi di elementi, che chiameremo A e B, l’ intersezione di questi due insiemi è l’insieme di elementi comuni a entrambi gli insiemi. L’intersezione di due insiemi è denotata dal simbolo ∩, ed è un altro insieme che possiamo chiamare C; C = A∩B, e C è l’insieme degli elementi che compaiono sia nel gruppo A che nel gruppo B. Allo stesso modo, l’ unione di due insiemi A e B è un nuovo insieme contenente tutti gli elementi di A e B, e si nota con il simbolo U. L’insieme C, unione di A e B, C = AUB, è un insieme integrato con tutti gli elementi di A e B. La terza definizione che dobbiamo ricordare è il complemento di un insieme: se abbiamo un certo universo di elementi e un insieme A di questo universo, il complemento di A è l’insieme degli elementi di quell’universo che non appartengono all’insieme A. L’insieme complementare di A è indicato come A C .
Questi tre operatori tra insiemi possono essere generalizzati all’operazione tra più insiemi, cioè all’intersezione, unione e complemento di più insiemi. Diamo un’occhiata a un semplice esempio. La figura seguente mostra il diagramma di Venn di tre insiemi: gli uccelli, rappresentati dal pappagallo, lo struzzo, l’anatra e il pinguino; gli esseri viventi che volano, rappresentati dal pappagallo, l’anatra, la farfalla e il pesce volante, e gli esseri viventi che nuotano, rappresentati dall’anatra, il pinguino, il pesce volante e la balena. L’anatra è l’insieme di intersezione dei tre insiemi: l’insieme di unione di uccelli ed esseri viventi che volano è costituito dallo struzzo, dal pappagallo, dalla farfalla, dall’anatra, dal pinguino e dal pesce volante. E il complemento degli esseri viventi che volano e di quelli che nuotano è l’insieme che contiene lo struzzo.
Le leggi di De Morgan
Ora possiamo vedere i postulati delle leggi di De Morgan. Il primo postulato dice che il complemento dell’intersezione degli insiemi di due insiemi A e B è uguale all’unione degli insiemi del complemento di A e del complemento di B. Usando gli operatori definiti nel paragrafo precedente, si può scrivere la prima legge di De Morgan come modo seguente:
(A∩B) C = LA C UB C
La seconda legge di De Morgan postula che il complemento dell’insieme dell’unione di A e B sia uguale all’intersezione dell’insieme del complemento di A con l’insieme del complemento di B, e si nota come segue:
(AUB) C = LA C ∩ SI C
Vediamo un esempio. Considera l’insieme di numeri interi da 0 a 5. Questo è indicato come [0,1,2,3,4,5]. In questo universo definiamo due insiemi A e B. A è l’insieme dei numeri 1, 2 e 3; A = [1,2,3]. YB è l’insieme dei numeri 2, 3 e 4; B = [2,3,4]. La prima legge di De Morgan si applicherebbe come segue.
A = [1,2,3]; B = [2,3,4]
Prima legge di De Morgan: (A∩B) C = A C UB C
(A∩B) C
A∩B = [1,2,3]∩[2,3,4] = [2,3]
(A∩B) C = [2,3] C = [0,1,4,5]
A CUB C _
LA DO = [1,2,3] DO = [0,4,5]
B C = [2,3,4] C = [0,1,5]
A C UB C = [0,4,5]U[0,1,5] = [0,1,4,5]
Il risultato dell’applicazione degli operatori su entrambi i lati dell’uguaglianza mostra che la prima legge di De Morgan è verificata. Vediamo l’applicazione dell’esempio al secondo postulato.
Seconda legge di De Morgan: (AUB) C = A C ∩ B C
(AUB) C
AUB = [1,2,3]U[2,3,4] = [1,2,3,4]
(AUB) C = [1,2,3,4] C = [0,5]
LA C ∩ SI C
LA DO = [1,2,3] DO = [0,4,5]
B C = [2,3,4] C = [0,1,5]
LA C ∩ SI C = [0,4,5]∩[0,1,5] = [0,5]
Come per il primo postulato, anche nell’esempio dato vale la seconda legge di De Morgan.
Fonti
A.G. Hamilton. Logica per matematici. Editoriale Paraninfo, Madrid, 1981.
Carlos Ivorra Castillo. Logica e teoria degli insiemi . Accesso a novembre 2021
