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Il fattoriale di un numero intero positivo è il prodotto di tutti i numeri interi minori o uguali ad esso ed è indicato dal simbolo !. Ad esempio, il fattoriale del numero 4 è espresso come 4! ed è uguale a 24:
4! = 1 x 2 x 3 x 4 = 24
In particolare, il fattoriale del numero 0, (cioè 0!), è definito uguale a 1, sebbene tale valore non derivi dalla definizione di fattoriale, che vale solo per qualunque numero intero maggiore o uguale a 1. Perché Perché il fattoriale del numero 0 è definito come 1 se esiste una regola matematica che dice che qualsiasi numero moltiplicato per zero è uguale a zero?
Al di là della confusione che questa situazione può generare, è da notare che il valore del fattoriale del numero 0 è una definizione ; cioè matematicamente si definisce che 0! = 1. Vediamo di seguito i fondamenti di questa definizione.
La definizione del fattoriale del numero 0
Come abbiamo già accennato, la prima cosa da notare è che l’assegnazione del valore 1 al fattoriale del numero 0 (0! = 1) è una definizione, anche se in linea di principio ciò non porta a una spiegazione soddisfacente se guardiamo solo alla definizione di fattoriale.
Ricordiamo che la definizione di fattoriale di un numero intero positivo è il prodotto di tutti i numeri interi uguali o minori di esso. Si noti che questa definizione implica anche che il fattoriale sia associato a tutte le possibili combinazioni di numeri minori o uguali al numero che stiamo considerando.
Il numero 0 non ha numeri interi positivi inferiori a esso ma è pur sempre un numero e c’è solo una combinazione possibile di questo particolare insieme di numeri costituito solo dal numero 0. Quella combinazione è una, proprio come nel caso del numero 1.
Per comprendere meglio il significato matematico di questa definizione, bisogna tener conto che il concetto di fattoriale coinvolge anche altre informazioni contenute in un numero, nello specifico le possibili permutazioni dei suoi fattori. Anche nell’insieme vuoto rappresentato dal numero 0 si può pensare che ci sia un modo per ordinare questo insieme.
Permutazioni e fattoriali
Il concetto di fattoriale è utilizzato nella branca della matematica chiamata combinatoria, disciplina in cui è definito il concetto di permutazione di elementi. Una permutazione è un ordine specifico e unico degli elementi che compongono un certo insieme. Ad esempio, ci sono sei possibili permutazioni dell’insieme {1, 2, 3}, contenente tre elementi, poiché possiamo scrivere questi elementi nei seguenti sei modi:
- 1, 2, 3
- 1, 3, 2
- 2, 3, 1
- 2, 1, 3
- 3, 2, 1
- 3, 1, 2
Potremmo anche esprimere questo concetto attraverso l’espressione fattoriale di tre, 3! = 6, che ci permette di calcolare l’insieme completo delle permutazioni di un gruppo di 3 elementi. Allo stesso modo, ci sono 24 permutazioni (4!=24) di un insieme con quattro elementi e 120 possibili permutazioni (5!=120) di un insieme con cinque elementi. Quindi, un modo alternativo di pensare al concetto di fattoriale è mettere da parte l’idea che sia associato a un numero naturale n e pensare che n ! è il numero di permutazioni di un insieme costituito da n elementi.
Vediamo alcuni esempi considerando ora questa nuova concezione del fattoriale di un numero. Un insieme formato da due elementi ha due possibili permutazioni: {a, b} può essere ordinato come (a, b) o come (b, a). Questo è associato alla definizione di fattoriale del numero 2; 2! = 2. Un insieme formato da un solo elemento, {a}, ha una sola permutazione possibile, ed è associato alla definizione di fattoriale del numero 1; 1! = 1.
Torniamo ora al caso del fattoriale di 0. L’insieme integrato da elementi nulli si chiama insieme vuoto. Per trovare il valore del fattoriale di 0 possiamo chiederci, in quanti modi possiamo ordinare un insieme senza elementi? E mentre una risposta potrebbe essere che non c’è niente da ordinare in un insieme vuoto, abbiamo anche l’alternativa che anche vuoto è un insieme, quindi la risposta potrebbe essere 1, e quindi 0! = 1.
Altre applicazioni del fattoriale
Come abbiamo già detto, il concetto di fattoriale viene utilizzato in combinatoria e questo strumento matematico viene utilizzato per eseguire calcoli in formule che esprimono permutazioni e combinazioni di gruppi di elementi. Sebbene queste applicazioni non forniscano una giustificazione diretta per l’assegnazione di 1 al fattoriale del numero 0, si può capire perché sia definito in questo modo.
Il concetto di combinazione di un gruppo di elementi si riferisce al numero di sottogruppi che possono essere ottenuti con essi, indipendentemente dall’ordine in cui sono considerati. Ad esempio, l’insieme {1, 2, 3} ha un solo join se vengono presi tre elementi, indipendentemente dall’ordine. Ma se li prendessimo per due elementi avremmo tre possibili combinazioni, {1, 3}, {2, 3} e {1, 2}, proprio come se li prendessimo per un elemento, {1}, {2} e {3}. La formula generale per calcolare il numero di combinazioni senza ripetizione di un certo insieme di n elementi presi in sottogruppi di p elementi è C ( n , p ) = n !/ p !( n–p ) !.
Se usiamo questa formula per determinare il numero di combinazione di tre elementi presi tre, vediamo che il risultato deve essere 1, espresso da C (3, 3) = 3! / 3! (3-3)! = 3! / 3! 0!, quindi è necessario definire lo 0! = 1 affinché l’espressione matematica abbia senso.
Allo stesso modo, ci sono altre situazioni che rendono necessario definire il fattoriale del numero 0 come 1, 0! = 1, come parte della concezione generale nello sviluppo della matematica che indica che quando si costruiscono nuove idee e si incorporano nuove definizioni ci deve essere compatibilità con strutture preesistenti.
Bibliografia
Zero fattoriale o 0!. Accademia Khan .
C’è un fattoriale di 0? Canale YouTube Alla deriva .
