Tabla de Contenidos
Il teorema del limite centrale è un teorema di base nella teoria della probabilità. Il termine “centrale” è equivalente a fondamentale, o di importanza centrale, ed è stato coniato da George Polyá nel 1920, a significare la rilevanza del teorema nella teoria della probabilità. Il teorema limite ha diverse versioni proposte da diversi matematici. In sostanza, il teorema del limite centrale dice che sotto certe ipotesi la distribuzione della somma di un numero molto elevato di variabili aleatorie approssima una distribuzione normale .
Il teorema del limite centrale
L’enunciato del teorema del limite centrale è astratto, ma vediamo un modo per capirlo passo dopo passo. Supponiamo di avere un semplice campione casuale di n elementi da una popolazione di interesse. In questo campione è possibile calcolare la media campionaria, che rappresenta la media della popolazione di interesse. Una distribuzione della media campionaria può essere generata selezionando ripetutamente campioni casuali semplici dalla stessa popolazione che hanno la stessa dimensione, quindi calcolando la media di ciascuno di questi campioni. Ognuno dei campioni casuali semplici deve essere indipendente dagli altri.
Il teorema del limite centrale riguarda la distribuzione delle medie campionarie e dice che questa distribuzione approssima una distribuzione normale. Più grandi sono i campioni casuali semplici, migliore è l’approssimazione a una distribuzione normale della distribuzione delle medie campionarie. Si noti che il teorema del limite centrale stabilisce che in queste condizioni la distribuzione della media campionaria è normale, indipendentemente dalla sua distribuzione iniziale. Anche se la popolazione ha una distribuzione asimmetrica, una situazione frequente quando si studiano parametri come il reddito o il peso delle persone, la distribuzione della media campionaria sarà normale se la dimensione del campione è sufficientemente ampia.
Ed è a questo punto che sta l’importanza del teorema del limite centrale, poiché ci consente di semplificare i problemi statistici quando si lavora con una distribuzione che può essere considerata normale. Esistono molte e molto rilevanti applicazioni in cui è fondamentale poter considerare che la popolazione abbia una distribuzione normale, come i test di ipotesi o la determinazione degli intervalli di confidenza.
Non è difficile trovare set di dati del mondo reale che mostrino valori anomali, distribuzioni asimmetriche o picchi multipli. Ma applicando il teorema del limite centrale, se viene selezionata una dimensione campionaria appropriata, possono essere affrontati problemi in cui le popolazioni non presentano una distribuzione normale. Pertanto, anche se la distribuzione della popolazione da studiare non è nota, il teorema del limite centrale assicura che, se prendiamo campioni sufficientemente grandi, la distribuzione reale può essere approssimata da una distribuzione normale. In situazioni specifiche, un’analisi esplorativa dei dati può aiutare a misurare la dimensione del campione in modo che il teorema del limite centrale sia valido.
Fontana
Jimena Blaiotta, Pablo Delieutraz. Teorema del limite centrale . Facoltà di Scienze esatte e naturali, Università di Buenos Aires, Argentina, 2004.
