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Un insieme di numeri è non numerabile quando non è possibile assegnare un numero naturale univoco a tutti i suoi elementi . In altre parole, gli insiemi non numerabili sono quelli che non hanno una corrispondenza biunivoca con i numeri naturali.
Di solito usiamo i numeri naturali in modo intuitivo per contare, e lo facciamo assegnando un numero naturale a ciascun elemento del gruppo che vogliamo contare, in sequenza. Ad esempio, quando contiamo il numero di dita che abbiamo su una mano, assegniamo a ciascuna delle dita un numero naturale univoco che inizia con 1 e finisce con 5. Sappiamo quindi che ci sono 5 dita sulle mani perché questo è il valore più alto assegniamo alle dita. In altre parole, contiamo le dita.
Questa idea non può essere applicata ad alcune serie di numeri. In alcuni casi gli insiemi sono così grandi che anche l’utilizzo di infiniti numeri naturali non sarebbe sufficiente per numerare tutti gli elementi dell’insieme. Poiché l’insieme dei numeri naturali è infinito, l’idea che esistano insiemi non numerabili suggerisce l’idea che esistano alcuni infiniti più grandi di altri, e solo quegli insiemi che hanno un infinito della stessa “dimensione” dell’insieme dei numeri naturali sono numerabili i numeri naturali. Il numero di elementi in un insieme è detto cardinale, quindi gli insiemi non numerabili sono quelli il cui cardinale è maggiore di quello dei numeri naturali.
Alcune proprietà di insiemi numerabili e non numerabili
Per capire perché alcuni insiemi sono numerabili e altri no, è utile conoscere alcune proprietà degli insiemi:
- Se A è un sottoinsieme di B e A non è numerabile, anche B è non numerabile. In altre parole, qualsiasi insieme che contenga un insieme non numerabile deve essere esso stesso non numerabile.
- Se A non è numerabile e B è un qualsiasi insieme (numerabile o meno), anche l’unione AUB è non numerabile.
- Se A non è numerabile e B è un insieme qualsiasi, anche il prodotto cartesiano A x B è non numerabile.
- Se A è infinito (anche numerabile infinito), allora l’insieme di potenze di A è non numerabile.
Esempi degli insiemi non numerabili più comuni
L’insieme dei numeri reali (R)
L’insieme dei numeri reali è il primo esempio di insieme non numerabile. Ma come facciamo a sapere che non sono numerabili se hanno infiniti elementi e abbiamo anche infiniti numeri naturali da assegnare? Lo facciamo grazie all’argomento diagonale di Cantor.
Diagonale di Cantor
L’argomento diagonale di Cantor ci permette di dimostrare che il sottoinsieme di numeri reali che si trova tra due limiti ben definiti, ad esempio tra 0 e 1, è un insieme non numerabile. Di conseguenza, per le già menzionate proprietà degli insiemi non numerabili, anche l’insieme completo di tutti i numeri reali deve essere non numerabile.
Supponiamo di creare un elenco infinito di numeri reali compresi tra 0 e 1. È del tutto irrilevante il modo in cui viene costruito questo elenco. L’unica cosa che conta è che tutti i numeri sono unici. Ora, assegneremo a ciascuno di questi numeri un numero naturale univoco, partendo da 1 e lavorando in sequenza. Un esempio di questo elenco è presentato nella tabella seguente:
| NO. | R. | ||||||||
| 1 | 0, | 2 | 2 | 4 | 5 | 8 | 7 | 9 | 6… |
| 2 | 0, | 5 | 2 | 1 | 3 | 2 | 4 | 0 | 2… |
| 3 | 0, | 6 | 4 | 0 | 5 | 7 | 8 | 3 | 0… |
| 4 | 0, | 1 | 7 | 9 | 8 | 2 | 2 | 4 | 3… |
| 5 | 0, | 8 | 5 | 5 | 4 | 7 | 3 | 2 | 2… |
| 6 | 0, | 0 | 4 | 8 | 3 | 8 | 1 | 5 | 3… |
| 7 | 0, | 7 | 8 | 4 | 2 | 0 | 9 | 1 | 0… |
| 8 | 0, | 3 | 4 | 6 | 7 | 9 | 1 | 3 | 5… |
| … | … |
A questo punto, stiamo assegnando un numero naturale univoco a tutti i numeri della nostra lista. Poiché questa lista è infinita e ogni numero reale corrisponde a un numero naturale, allora “spendiamo” tutti i numeri naturali in questa tabella. Ciò che Canto ha fatto è stato dimostrare che esiste almeno un numero reale aggiuntivo che non è in questa lista e quindi non può essere contato. Questo numero si costruisce prendendo tutti gli elementi della diagonale che attraversa la tabella, aggiungendo poi 1. Cioè il nuovo numero partirà con la prima cifra del primo numero aumentata di una unità, poi avrà la seconda cifra di il secondo numero aumentato di una unità, poi la terza cifra del terzo numero e così via.
Nella tabella seguente, gli elementi sulla diagonale sono evidenziati in grassetto e il numero risultante dall’operazione è aggiunto nell’ultima riga:
| NO. | R. | ||||||||
| 1 | 0, | 2 | 2 | 4 | 5 | 8 | 7 | 9 | 6… |
| 2 | 0, | 5 | 2 | 1 | 3 | 2 | 4 | 0 | 2… |
| 3 | 0, | 6 | 4 | 0 | 5 | 7 | 8 | 3 | 0… |
| 4 | 0, | 1 | 7 | 9 | 8 | 2 | 2 | 4 | 3… |
| 5 | 0, | 8 | 5 | 5 | 4 | 7 | 3 | 2 | 2… |
| 6 | 0, | 0 | 4 | 8 | 3 | 8 | 1 | 5 | 3… |
| 7 | 0, | 7 | 8 | 4 | 2 | 0 | 9 | 1 | 0… |
| 8 | 0, | 3 | 4 | 6 | 7 | 9 | 1 | 3 | 5 … |
| … | … | 2+1 | 2+1 | 0+1 | 8+1 | 7+1 | 1+1 | 1+1 | 5+1 |
| 0, | 3 | 3 | 1 | 9 | 8 | 2 | 2 | 6… |
Il numero risultante è 0,33198226…
Come si vede, poiché la prima cifra del nuovo numero (che è 3) è diversa dalla prima cifra del primo numero della lista (che è 2), allora sarà un numero diverso dal primo, anche se tutti gli altri numeri sono esattamente gli stessi. Poiché la seconda cifra (3) è diversa dalla seconda cifra del secondo numero (2), allora sarà diversa anche dal secondo numero.
Questo stesso argomento può essere continuato all’infinito avanzando lungo la diagonale, assicurandosi che il numero risultante sarà diverso di almeno una cifra da tutti i numeri infiniti nella tabella.
Tuttavia, poiché abbiamo già “spenso” o assegnato tutti i numeri naturali prima di creare questo nuovo numero, non abbiamo più numeri naturali univoci da assegnargli, quindi concludiamo che l’insieme dei numeri reali tra 0 e 1, e quindi estensione di tutti i numeri reali, è un insieme non numerabile.
L’insieme dei numeri trascendentali
I numeri trascendentali sono quelli che appartengono all’insieme dei numeri reali, ma non sono numeri algebrici. Ciò significa che non sono radici di un’equazione polinomiale della forma:
dove tutti i coefficienti sono numeri interi. Chiamiamo A l’insieme di tutti i numeri reali algebrici e T il resto dei numeri reali, cioè quelli trascendenti. È facile vedere che l’insieme totale dei numeri reali, R , è l’unione degli insiemi A e T , cioè:
Si può dimostrare che l’insieme dei numeri algebrici è numerabile. Inoltre, abbiamo già dimostrato che i numeri reali non sono numerabili. Poiché R non è numerabile, non può essere formato dall’unione di due insiemi numerabili. Sapendo che A è numerabile, concludiamo che T non è numerabile.
L’insieme delle sequenze numeriche binarie
Una sequenza di numeri binari è semplicemente una stringa di 0 e 1 di qualsiasi lunghezza. Se uniamo tutte le possibili sequenze di numeri binari, otteniamo l’insieme delle sequenze di numeri binari. Questo non è altro che un sottoinsieme dei numeri reali in cui le uniche cifre sono 0 e 1.
È molto facile dimostrare che questo insieme di numeri è non numerabile usando lo stesso argomento di Cantor con cui dimostriamo che R è non numerabile. L’unica avvertenza è che invece di aggiungere 1 ai numeri sulla diagonale, invertiamo semplicemente il loro valore, sostituendo 0 con 1 e viceversa.
Come prima, la sequenza binaria risultante sarà diversa da qualsiasi insieme infinito di sequenze che potremmo aver incluso nell’elenco originale, quindi è un insieme non numerabile.
Altre sequenze di numeri con basi diverse
L’argomento da sequenze di numeri binari e da numeri reali può essere esteso a qualsiasi sequenza di numeri di qualsiasi base. In questo senso, l’insieme di tutte le sequenze di numeri esadecimali sarà non numerabile; così sarà l’insieme delle successioni di numeri ternari, quaternari, ecc.
Riferimenti
Esempi comuni di insiemi non numerabili . (2020, 16 marzo). PeoplePerProject. https://en.peopleperproject.com/posts/9312-common-examples-of-uncountable-sets
Ivorra Castillo, C. (sf). TEORIA DEGLI INSIEMI . UV.es. https://www.uv.es/ivorra/Libros/TC.pdf
Testi liberi. (2021, 7 luglio). 1.4: Insiemi numerabili e non numerabili . LibreText di matematica. https://math.libretexts.org/Bookshelves/Combinatorics_and_Discrete_Mathematics/An_Introduction_to_Number_Theory_(Veerman)/01%3A_A_Quick_Tour_of_Number_Theory/1.04%3A_Countable_and_Uncountable_Sets
Schwartz, R. (2007, 12 novembre). Insiemi numerabili e non numerabili . Matematica marrone. https://www.math.brown.edu/reschwar/MFS/handout8.pdf
Innumerevoli set | Esempi di insiemi non numerabili . (2020, 21 settembre). Cuemath. https://www.cuemath.com/learn/Mathematics/uncountable-sets/
