Gli assiomi della probabilità

Gli assiomi sono una serie di affermazioni accettate come vere senza bisogno di prove e su cui si basano tutte le teorie e i teoremi della scienza. Pertanto, gli assiomi della probabilità sono quelle affermazioni fondamentali su cui si basa la teoria della probabilità . Rappresentano il quadro di riferimento definitivo a cui tutti i teoremi esistenti nella teoria della probabilità dovrebbero logicamente fare riferimento. Sono stati postulati dal matematico russo Andrey Nikolaevich Kolmogorov nel 1933 e derivano esclusivamente dal buon senso.

Lo scopo degli assiomi della probabilità è quello di formalizzare il concetto matematico di probabilità per garantire che i valori numerici che assegniamo alla probabilità che qualcosa si verifichi siano coerenti con la nostra nozione intuitiva di probabilità.

Definizioni preliminari

La teoria della probabilità si basa solo su tre assiomi , ma prima di entrare nei dettagli è necessario stabilire alcune definizioni di base, nonché alcune convenzioni sulla simbologia utilizzata in probabilità:

• Sperimentare. È qualsiasi azione o processo che genera un risultato o un’osservazione. Ad esempio, lanciare una moneta è un esperimento (un processo o un’azione) che può risultare in testa o croce.
• Spazio campionario ( S ). Si riferisce all’insieme di tutti i possibili risultati di un esperimento ed è indicato dal simbolo S. Nell’esempio del lancio della moneta sopra, lo spazio campionario è costituito dall’insieme di soli due risultati: S = {testa, croce}.
• Evento ( E ). Un evento è un sottoinsieme dello spazio campionario, ovvero un numero qualsiasi di possibili risultati dell’esperimento. Gli eventi sono solitamente identificati con lettere maiuscole e pedici (come E ₁ , E ₂ , E ₃ , ecc.) o con lettere diverse (A, B, C,…). Ad esempio, uscire testa quando si lancia una moneta è un evento. La croce in arrivo è un evento diverso.
• Probabilità ( P ): È un valore numerico che viene assegnato ad un evento, e che indica il grado di certezza che si ha sul suo verificarsi. Come regola generale, più sei sicuro che un evento (ad esempio E ₁ ) si verificherà, più alto sarà il valore di probabilità che assegni a quell’evento.

imposta

Oltre a queste definizioni, è utile ricordare anche alcune operazioni relative agli insiemi. L’intersezione tra due insiemi risulta in un nuovo insieme con gli elementi comuni ad entrambi, è indicato dal simbolo ∩ e si legge “e”. L’unione tra due insiemi invece è un nuovo insieme con tutti gli elementi comuni e non comuni di entrambi, è rappresentato dal simbolo ∪ e si legge “o”.

Esempio:

• L’espressione P(E ₁ ∩ E ₂ ) si legge “Probabilità che l’evento E ₁ e l’evento E ₂ si verifichino simultaneamente”
• L’espressione P(E ₁ ∪ E ₂ ) si legge “Probabilità del verificarsi dell’evento E ₁ o dell’evento E ₂ ”

Assioma 1 della probabilità

Il primo assioma della probabilità dice che, dato un esperimento, la probabilità che qualsiasi evento si verifichi (E) deve essere un numero reale non negativo. Questo è formalmente espresso come:

L’Assioma 1 rappresenta la nozione intuitiva che non ha senso parlare di probabilità negativa . Stabilisce inoltre la probabilità zero come limite inferiore, che viene assegnato a un evento impossibile. Quest’ultimo è formalmente definito come qualsiasi risultato (o insieme di risultati) che non è contenuto nello spazio campionario dell’esperimento.

Esempio:

Lanciando un dado una sola volta, lo spazio campionario sarà formato solo dall’insieme S={1, 2, 3, 4, 5, 6}. Il primo assioma afferma che la probabilità di ottenere uno qualsiasi dei risultati (4, per esempio) deve essere un numero maggiore di zero ( P(4)>0 ). D’altra parte, la probabilità che il risultato sia 7, che non fa parte dello spazio campionario, è zero ( P(7)=0 ).

Si noti che il primo assioma non afferma l’entità della probabilità di eventi possibili, cioè non afferma quale deve essere la probabilità che il lancio del dado dia, ad esempio, 4. Specifica solo che deve essere qualche numero positivo…

Assioma 2 della probabilità

Il secondo assioma della probabilità dice che, per ogni esperimento, la probabilità dello spazio campionario è 1 , o, formalmente:

Un modo semplice per comprendere l’Assioma 2 è che la probabilità che qualche risultato, qualunque esso sia, sarà ottenuto nell’esperimento è 1.

Esempio:

Come accennato in precedenza, quando si lancia una moneta ci sono solo due possibili esiti: testa o croce, quindi la probabilità che esca testa o croce, secondo l’Assioma 2, è 1.

Se il primo assioma pone a zero il limite inferiore della probabilità, il secondo assioma pone il suo limite superiore a 1. Questo perché lo spazio campionario è un certo evento e la sua probabilità deve quindi essere la massima probabilità possibile.

Assioma 3 della probabilità

Se gli eventi E ₁ , E ₂ , …, E _n non hanno esiti in comune (la loro intersezione è un insieme vuoto), si dicono mutuamente esclusivi, poiché l’occorrenza dell’uno esclude l’occorrenza dell’altro. Il terzo assioma afferma che la probabilità di unione di eventi che si escludono a vicenda è uguale alla somma delle probabilità di ogni singolo evento . In altre parole:

Per il caso più semplice di soli due eventi che si escludono a vicenda (come nel caso del lancio di una moneta), l’Assioma 3 è formulato come segue:

Questo assioma formalizza l’idea che più possibili esiti ci sono per un evento, più è probabile. Ciò deriva dal fatto che l’unione di due eventi che si escludono a vicenda deve per definizione contenere la somma di tutti i risultati in entrambi gli eventi.

Applicazione degli assiomi

Oltre agli esempi sopra menzionati, i tre assiomi possono essere usati per costruire e dimostrare teoremi utili nella teoria della probabilità. Un semplice esempio è determinare la relazione tra le probabilità di ogni evento e il suo complemento.

Se E è un qualsiasi evento, allora il suo complemento (rappresentato da E ^c ) è definito come l’evento in cui si verifica qualsiasi cosa tranne E o, che è la stessa cosa, che E non si verifica . Questa definizione ha due conseguenze:

• Che E ed Ec si escludono a vicenda ^.
• L’unione tra E ed E ^c risulta nello spazio campionario, S ( E ∪ E ^c = S ).

Dal momento che si escludono a vicenda, in base al terzo assioma, abbiamo questo

Ma poiché questa unione risulta in S , allora

Ora, applicando il secondo assioma , questo diventa

che è riorganizzato come

Infine, poiché sappiamo dal primo assioma che P(E ^c ) deve essere una quantità non negativa, concludiamo che la probabilità che un evento si verifichi sarà sempre uguale a 1 meno la probabilità che l’evento non si verifichi, e che una qualsiasi delle due probabilità deve avere un valore nell’intervallo [0, 1].

Fonti

Devone, JL (1998). Probabilità e statistica per l’ingegneria e le scienze (4a ed.). Editori Thomson internazionali.