Esempio di calcolo della deviazione standard della popolazione

La deviazione standard della popolazione è uno dei parametri della popolazione più importanti per misurare la variabilità o la dispersione dei dati all’interno della popolazione. Come ogni parametro in statistica, è rappresentato da una lettera greca, in questo caso la lettera σ (sigma). Ciò consente di differenziarla facilmente dalla deviazione standard del/i campione/i che, sebbene simile, non è la stessa né viene calcolata con le stesse formule.

Successivamente, vedremo, attraverso un esempio, diversi modi per calcolare la deviazione standard di una popolazione. Va notato che, per calcolare la deviazione standard della popolazione , è essenziale conoscere tutti i dati della popolazione. Questo accade raramente in contesti reali, ma è comunque importante capire come viene calcolato, in quanto aiuta a comprendere alcune delle caratteristiche matematiche di questo importante parametro.

Formule di deviazione standard della popolazione

A seconda dei dati disponibili, la deviazione standard della popolazione può essere determinata utilizzando tre diverse formule.

Definizione matematica della deviazione standard della popolazione

La deviazione standard è definita come la radice quadrata della varianza, σ ² . Cioè, se conosciamo la varianza della popolazione, possiamo calcolare la deviazione standard usando la seguente equazione:

Questo caso si verifica raramente, ma è bene tenerlo presente.

Altre formule di deviazione standard della popolazione

Se invece di conoscere la varianza di una popolazione, conosciamo tutti gli N dati che la compongono, allora possiamo calcolare la deviazione standard della popolazione come radice quadrata della media dei quadrati delle deviazioni dalla media. Vale a dire:

In questa equazione, x _i rappresenta il valore di ciascun elemento di dati nella popolazione, N rappresenta il numero di elementi di dati nella popolazione (o la dimensione della popolazione, che è la stessa) e μ è la media della popolazione. Si noti che anche la media della popolazione è rappresentata da una lettera greca perché è un altro parametro della popolazione e la dimensione della popolazione è rappresentata da N (lettera maiuscola) per distinguerla da n che di solito è associata alla dimensione di un campione .

La media della popolazione, μ, è data da:

L’equazione 2 può essere espansa, riorganizzata e semplificata per ottenere:

Nel caso in cui non si disponga di dati individuali della popolazione ma di dati raggruppati in una tabella di frequenza, le formule precedenti vengono leggermente modificate per dare:

Nelle equazioni di cui sopra, la quantità che si trova all’interno della radice non è altro che la varianza della popolazione. L’equazione 4 ha il vantaggio di essere stabilita esclusivamente in termini di dati sulla popolazione e non di alcuni parametri della popolazione come nel caso delle equazioni 2 e 5.

Esempio di calcolo della deviazione standard della popolazione

Supponiamo di voler determinare la variabilità del peso di un particolare modello di auto di cui si conoscono solo 20 esemplari in tutto il mondo. I dati dei pesi in chilogrammi di queste 20 auto sono presentati nella seguente tabella:

Poiché sappiamo che ci sono solo 20 auto di questo modello, queste rappresentano l’intera popolazione, quindi abbiamo tutti i dati necessari per determinare la deviazione standard della popolazione. Diamo un’occhiata a tre diversi modi per determinare questa deviazione standard.

Metodo 1: Calcolo basato sulla definizione di varianza

Questo metodo si basa sull’uso dell’equazione 2 presentata sopra. Come possiamo vedere, l’equazione richiede l’uso della media della popolazione e un’altra serie di calcoli dettagliati di seguito:

Passaggio 1: determinare la media della popolazione

La media della popolazione o μ viene calcolata mediante l’equazione 3, sommando tutti i dati e dividendo per il numero totale di dati, che è, in questo caso, 20.

Passaggio 2: calcola le deviazioni dalla media

Questo passaggio comporta il calcolo delle sottrazioni (xi _– μ). Per esempio:

x ₁ – μ = 410 – 400,35 kg = 9,65 kg

x ₂ – μ = 408 – 400,35 kg = 7,65 kg

x ₃ – μ = 408 – 400,35 kg = 7,65 kg

…

X ₂₀ – μ = 400 kg – 400,35 kg = – 0,35

I risultati sono presentati nella tabella seguente:

Passaggio 3: Piazza tutte le deviazioni dalla media

(x ₁ – μ) ² = (9.65) ² = 93.1225 kg ²

(x ₂ – μ) ² = (7,65) ² = 58,5225 kg ²

(x ₃ – μ) ² = (7,65) ² = 58,5225 kg ²

…

(x ₂₀ – μ) ² = (– 0,35) ² = 0,1225 kg ²

I risultati sono presentati nella tabella seguente:

Passaggio 4: somma tutte le deviazioni al quadrato

Passaggio 5: applicare la formula dell’equazione 2

Ora che abbiamo questa somma, non resta che sostituire questo valore, così come il numero di dati, che è 20, nell’equazione 2:

Otteniamo quindi che la deviazione standard del peso della popolazione di 20 automobili è di ca. 6,5 kg.

Metodo 2: utilizzo dell’equazione riorganizzata

Ora eseguiremo lo stesso calcolo, ma utilizzando l’equazione 4, che è equivalente all’equazione appena usata, ma è più pratica, soprattutto se si lavora con un numero maggiore di dati. Il vantaggio principale è che non è necessario calcolare un parametro aggiuntivo (la media della popolazione) per poter calcolare le deviazioni, ma tutto viene calcolato in base ai dati individuali originali. Inoltre, in nessun momento è necessario lavorare con numeri negativi, che sono una delle principali fonti di errore tra gli studenti.

Passaggio 1: calcola il quadrato di ogni singolo dato

Cioè, vengono eseguiti i seguenti calcoli:

(x ₁ ) ² = (410) ² = 168.100 kg ²

(x ₂ ) ² = (408) ² = 166,464 kg ²

(x ₃ ) ² = (408) ² = 166,464 kg ²

…

(x ₂₀ ) ² = (400) ² = 160.000 kg ²

I risultati sono presentati nella tabella seguente:

Passaggio 2: sommare tutti i dati individuali

Passaggio 3: aggiungi tutti i quadrati

Passaggio 4: applicare la formula dell’equazione 4

L’ultimo passaggio consiste nell’introdurre questi due valori e il numero di dati nell’equazione 4 per ottenere la deviazione standard della popolazione:

Metodo 3: utilizzo di fogli di calcolo

Fogli di calcolo come Microsoft Excel, Apple Numbers o Google Sheets includono tra le loro funzioni di base il calcolo diretto della deviazione standard (sia campione che popolazione). Queste funzioni prendono un set di dati come argomento ed eseguono tutti i calcoli mostrati nel metodo precedente per restituire direttamente la deviazione standard nella cella in cui è stata inserita la formula.

La procedura è la seguente:

Passaggio 1: inserire i dati nel foglio di calcolo

Possiamo inserire i dati sotto forma di colonna, riga o matrice ovunque nel foglio di calcolo. Lo screenshot seguente mostra l’aspetto dei dati per questo problema in Excel 2016.

Passaggio 2: utilizzare la formula per calcolare la deviazione standard

Una volta aggiunti i dati, utilizziamo la funzione di deviazione standard, posizionando le celle in cui si trovano i dati come argomenti.

Per chiamare una funzione in un foglio di calcolo, di solito iniziamo digitando il segno di uguale (=) seguito dal nome della funzione che vogliamo utilizzare. I nomi cambiano leggermente da un’applicazione all’altra e in alcuni casi cambiano anche a seconda della lingua in cui si sta lavorando.

Nel caso di Excel (versione spagnola), la funzione per calcolare la deviazione standard della popolazione si chiama DEV.ST.P, mentre in Fogli Google è DEV.ST.VP (senza punto). Quindi devi inserire gli argomenti della funzione tra parentesi. Nel nostro esempio, passiamo come argomento l’intervallo di celle in cui si trovano i dati (dalla cella A3 alla cella J4).

Premendo INVIO, il programma esegue la funzione e calcola la deviazione standard della popolazione, presentando il risultato nella rispettiva cella, come mostrato di seguito:

Come possiamo vedere, ognuno dei tre metodi praticati qui produce lo stesso risultato. Sono solo modi diversi di fare la stessa cosa.

altri metodi

Oltre ai tre metodi sopra menzionati, i calcolatori scientifici e finanziari spesso hanno anche una funzione per determinare la deviazione standard di un set di dati, sia esso un campione o una popolazione. Il modo in cui i dati vengono inseriti e i risultati ottenuti variano da produttore a produttore e persino da un modello di calcolatrice all’altro, quindi non è pratico mostrare i passaggi specifici per farlo qui.

Discuteremo invece i passaggi generali più importanti senza approfondirli. Chiunque desideri utilizzare questa funzione sulla propria calcolatrice scientifica deve fare riferimento al manuale dell’utente fornito con la calcolatrice o cercarlo online per determinare la combinazione di tasti specifica in ciascun caso.

Passaggio 1: cancella la memoria

Su molte calcolatrici, i dati precedentemente memorizzati non sono visibili. Se inseriamo dati su altri già memorizzati senza rendercene conto, il calcolatore darà un risultato errato. Per evitare che ciò accada, è consigliabile cancellare tutta la memoria della calcolatrice (o almeno la modalità di analisi statistica) prima di iniziare ad inserire nuovi dati.

Passaggio 2: accedere alla modalità statistiche

Le funzioni per calcolare la deviazione standard fanno parte della modalità “Statistiche”, “Statistiche” o semplicemente “S” sulla maggior parte dei calcolatori, quindi dobbiamo iniziare inserendo questa modalità operativa.

Passaggio 3: inserire i dati

Questo varia da una calcolatrice all’altra. In alcuni casi i dati possono essere aggiunti sotto forma di tabella, mentre in altri i dati vengono inseriti uno ad uno dopo aver premuto il tasto DT (o DAT). È importante verificare il numero di dati inseriti alla fine di questo passaggio per assicurarsi che non ne mancasse nessuno.

Passaggio 4: calcolare la deviazione standard della popolazione

Una volta inseriti i dati non resta che chiedere al calcolatore il risultato che stiamo cercando. Su molti calcolatori, sia la deviazione standard del campione che quella della popolazione sono rappresentate dal simbolo σ (nonostante questo sia un errore nel caso della deviazione del campione). Tuttavia, possiamo distinguere la deviazione del campione dalla deviazione della popolazione perché la deviazione del campione è accompagnata da n-1 (ovvero appare come σ _n-1 ) mentre la deviazione della popolazione appare come s _n . Ciò si riferisce al fatto che nel calcolo della deviazione standard campionaria essa viene divisa per n-1 invece che per n come nella popolazione.

Riferimenti

Devore, JL (2019). Probabilità e statistica (1a ^ed .). Cengage Apprendimento.

MateMobile. (2021, 1 gennaio). Varianza e deviazione standard per i dati raggruppati | matermobile . https://matemovil.com/varianza-y-desviacion-estandar-para-datos-agrupados-por-intervalos/

Assistenza tecnica Google. (nd). DEV.ST (DEV.ST) – Guida dell’editor di Google Documenti . Google – Guida dell’Editor di Google Documenti. https://support.google.com/docs/answer/3094054?hl=it-419

Superprof. (nd). Deviazione standard . Dizionario di matematica | Superprof. https://www.superprof.es/diccionario/matematicas/estadistica/desviacion-estandar.html

TOMi.digital. (nd). Deviazione standard per i dati raggruppati . https://tomi.digital/it/52202/deviazione-standard-per-dati-raggruppati?utm_source=google&utm_medium=seo