Differenza tra le deviazioni standard di un campione e di una popolazione

Nel calcolo della deviazione standard devono essere considerate due situazioni: la deviazione standard di una popolazione o di un insieme di valori e la deviazione standard di un campione.

Ricordiamo, prima di avanzare nelle due definizioni, che la deviazione standard σ è un parametro che permette di valutare la dispersione di un insieme di valori . Se viene calcolata la media di un insieme di valori, la deviazione standard valuta la differenza dei valori nell’insieme rispetto alla media. E la media di un insieme di n valori è definita come la somma di tutti loro divisa per il numero di n valori . La formula generale utilizzata per calcolare la deviazione standard σ è mostrata di seguito; consiste nel sottrarre da ogni valore dell’insieme che analizziamo, che annotiamo con il pedice i, la media di tutti i valori; equazioniamo ciascuna di queste differenze e le sommiamo; Dividiamo il risultato per il numero di valori nell’insieme meno 1 e calcoliamo la radice quadrata di questo valore.

Sebbene entrambe le definizioni di deviazione standard valutino la variabilità, esistono differenze concettuali tra il calcolo su una popolazione e su un campione. La differenza ha a che fare con la distinzione tra una variabile statistica e un parametro matematico. Se i dati vengono raccolti da tutti i membri di una popolazione o viene studiato un set di dati definito, questo è il calcolo della deviazione standard di una popolazione. Se stai analizzando dati che rappresentano un campione di una popolazione più ampia, è il calcolo della deviazione standard di un campione. La figura sottostante illustra graficamente la differenza. La deviazione standard di una popolazione è un parametro matematico con un valore definito; La deviazione standard di un campione è un parametro statistico che valuta un insieme di dati il ​​cui risultato è proiettato su un insieme più ampio. Questa valutazione dipende dal campione, non è un valore definito, come nel caso di una popolazione.

Qualitativamente la differenza di definizione implica un calcolo leggermente diverso; Nel caso della deviazione standard di un campione, la differenza tra ciascun valore e la media al quadrato viene divisa per il numero di valori meno 1 ( n – 1), come mostrato nella formula precedente. Nel caso della deviazione standard di una popolazione è divisa per n .

Esempio

Vediamo un esempio per fissare le idee. Prendiamo un insieme di valori e calcoliamo la deviazione standard secondo le due definizioni. Il gruppo è il seguente e contiene 5 valori ( n = 5), che sono i seguenti:

1, 2, 4, 5, 8

La media di questi valori ha la seguente espressione

(1 + 2 + 4 + 5 + 8)/5 = 20/5 = 4

Le differenze di ciascun valore e la media al quadrato sono rappresentate con la seguente sequenza

(1 – 4) ² = 9

(2 – 4) ² = 4

(4 – 4) ² = 0

(5 – 4) ² = 1

(8 – 4) ² = 16

La somma dei cinque valori è 30.

Nel caso di calcolo della deviazione standard della popolazione, questo valore deve essere diviso per n , 5 in questo esempio e il risultato è 6 . Nel caso della deviazione standard del campione è necessario dividere tra n – 1; 4 in questo caso e il risultato è 7.5 . Per completare il calcolo dobbiamo ottenere la radice quadrata; circa 2,4495 se fosse una popolazione e circa 2,7386 se fosse un campione.

Fontana

Yadolah Dodge. L’enciclopedia concisa delle statistiche . New York: Springer, 2010.