Quali sono i numeri reali?

I numeri hanno proprietà diverse e possono essere classificati in vari gruppi. Uno di questi gruppi, con ampie applicazioni in vari rami della matematica, sono i numeri reali. Per capirli meglio, vediamo prima quali sono i diversi tipi di numeri.

I numeri

La prima cosa che impariamo sui numeri è come usarli per contare; iniziamo con l’accoppiarli con le dita per fare semplici operazioni. Pertanto, le nostre dieci dita sono la base del sistema decimale. Da lì contiamo le quantità più grandi che possiamo e notiamo che i numeri sono infiniti. E così, aggiungendo zero (0) quando non abbiamo nulla da contare, si formano i numeri naturali.

Con i numeri naturali facciamo operazioni aritmetiche e quando sottraiamo un altro numero da un numero, dobbiamo introdurre i numeri negativi. Quindi, sommando i numeri negativi a quelli naturali, otteniamo l’insieme dei numeri interi.

Tra le operazioni aritmetiche che eseguiamo con i numeri c’è la divisione. E troviamo che ci sono casi in cui quando si divide un numero per un altro, il risultato non è un numero intero; In molti casi, questo risultato di divisione può essere rappresentato accuratamente solo dall’espressione di divisione stessa, cioè una frazione. Si costruisce così l’insieme dei numeri razionali, in cui tutti i numeri sono scritti come frazioni e gli interi hanno come denominatore il numero 1.

Sono state le antiche civiltà ad osservare che esistevano numeri che non potevano essere rappresentati come frazioni. Lavorando con figure geometriche, hanno trovato il numero pi greco, il rapporto tra il raggio e la lunghezza di un cerchio, un numero che non può essere espresso come quoziente tra due numeri interi. È anche il caso della radice quadrata del numero 2 (ovvero il numero che moltiplicato per se stesso darebbe come risultato il numero 2). E sono tanti i numeri che emergono in vari rami del sapere che non fanno parte dell’insieme dei numeri razionali. Questi numeri, che non possono essere rappresentati esattamente come il quoziente di due numeri interi, sono chiamati numeri irrazionali. L’insieme dei numeri razionali e irrazionali costituisce, quindi, l’insieme dei numeri reali.

I numeri reali fanno parte di un insieme di numeri ancora più ampio: i numeri complessi. Questa estensione dell’insieme dei numeri reali nasce quando vogliamo calcolare la radice quadrata di un numero negativo; Poiché il prodotto di due numeri negativi è sempre positivo, non esiste un numero reale che moltiplicato per se stesso sia negativo. Quindi viene definito il numero immaginario i , che rappresenta la radice quadrata di -1, e si ottiene l’insieme dei numeri complessi.

rappresentazione decimale

Tutti i numeri possono essere espressi in forma decimale; Ad esempio, il numero razionale 1/2 può essere espresso in forma decimale come 0,5. A differenza del numero razionale 1/2, che può essere rappresentato esattamente da una sola cifra decimale, gli altri numeri razionali hanno un numero infinito di cifre decimali e nonPossono essere espressi esattamente con la rappresentazione decimale. È il caso del numero 1/3; La sua rappresentazione decimale è 0.33333…, con un numero infinito di cifre decimali. Questi numeri razionali sono chiamati numeri decimali periodici, poiché in tutti i casi c’è una sequenza di numeri che si ripete infinite volte. Nel caso del numero 1/3 quella sequenza è 3; nel caso del numero 1/7, la sua forma decimale è 0,1428571428571…, e la sequenza che si ripete all’infinito è 142857. I numeri irrazionali non sono numeri decimali periodici; non esiste una sequenza che si ripeta infinite volte nella sua rappresentazione decimale.

Rappresentazione visiva

I numeri reali possono essere visualizzati associando ciascuno di essi ad uno degli infiniti punti lungo una retta, come mostrato in figura. In questa rappresentazione grafica si trova il numero pi, il cui valore è circa 3,1416, il numero e , che è circa 2,7183, e la radice quadrata del numero 2, circa 1,4142. Dal numero 0 a destra si trovano i numeri reali positivi in ​​forma crescente, ea sinistra quelli negativi che aumentano il loro valore assoluto in quella direzione.

Alcune proprietà dei numeri reali

I numeri reali si comportano come numeri interi o numeri razionali, con i quali abbiamo più familiarità. Possiamo sommare, sottrarre, moltiplicare e dividere allo stesso modo; l’unica eccezione è la divisione per il numero 0, operazione che non è possibile. L’ordine delle addizioni e delle moltiplicazioni non è importante, poiché vale ancora la proprietà commutativa e la proprietà distributiva si applica allo stesso modo. Allo stesso modo, due numeri reali x e y sono ordinati in modo univoco e solo una delle seguenti relazioni è corretta:

x = y , x < y oppure x > y

I numeri reali sono infiniti, proprio come gli interi ei numeri razionali. In linea di principio ciò è ovvio poiché sia ​​i numeri interi che i razionali sono sottoinsiemi dei numeri reali. Ma c’è una differenza: nel caso degli interi e dei razionali si dice che sono numerabili infiniti; invece i numeri reali sono infiniti innumerevoli.

Un insieme si dice numerabile o numerabile quando ciascuno dei suoi componenti può essere associato a un numero naturale. L’associazione è ovvia nel caso di numeri interi; nel caso di numeri razionali può essere visto come l’associazione con una coppia di numeri naturali, il numeratore e il denominatore. Ma questa associazione non è possibile nel caso di numeri reali.

Fonti

• Arias Cabezas, Jose Maria, Maza Saez, Ildefonso. Aritmetica e Algebra . In Carmona Rodríguez, Manuel, Díaz Fernández, Francisco Javier, eds. Matematica 1. Gruppo Editoriale Bruño, Società per Azioni, Madrid, 2008.
• Carlo Ivorra. Logica e teoria degli insiemi . 2011.