Tabla de Contenidos
Le formule per calcolare l’area e il volume di una sfera sono:
- Superficie = 4πr 2
- Volume = (4/3)πr 3
2. Calcolo dell’area e del volume di un cono
Un cono è una piramide a base circolare, i cui lati inclinati si incontrano in un punto centrale sull’asse del cono, linea perpendicolare al piano di base che passa per il centro della circonferenza che costituisce la base del cono, come mostrato Puoi vedere nella figura sopra. Per calcolare l’area della sua superficie o il suo volume, bisogna conoscere il raggio della base r e la lunghezza del lato s . Se il valore della lunghezza del lato s non è noto , può essere calcolato conoscendo l’altezza del cono h (vedi figura sopra).
s = √ (r 2 + h 2 )
La superficie totale del cono può essere calcolata come somma dell’area della base e dell’area della superficie laterale.
- Area di base: πr 2
- Area laterale: πrs
- Area totale = πr 2 + πrs
Per calcolare il volume di un cono bastano il raggio della base e l’altezza.
- Volume = 1/3 πr 2 h
3. Calcolo della superficie e del volume di un cilindro
I calcoli di superficie e volume sono più facili per un cilindro che per un cono. Il cilindro ha una base circolare e le linee che ruotate generano la superficie laterale sono parallele e perpendicolari alla base. Per calcolarne l’area superficiale o il volume, sono necessari solo il raggio r e l’altezza h .
Come nel caso del cono, l’area superficiale è la somma delle superfici che lo compongono; la somma dell’area della base superiore e della base inferiore (che sono uguali) e l’area della superficie laterale.
- Superficie = 2πr 2 + 2πrh
- Volume = πr 2h
4. Calcolo della superficie e del volume di un prisma rettangolare
Un rettangolo dispiegato in tre dimensioni diventa un prisma rettangolare; O solo una scatola. Quando tutti i lati di un prisma rettangolare sono uguali, il prisma diventa un cubo. Pertanto sia la superficie che il volume sono calcolati con le stesse formule. Per questo è necessario conoscere la grandezza dei tre lati del prisma; a, b e c, nella figura in alto.
- Area = 2(ab) + 2(bc) + 2(ac)
- volume = abc
Se abbiamo un cubo di lato a le formule precedenti diventano
- Area di un cubo = 6a 2
- Volume di un cubo = a 3
5. Calcolo dell’area e del volume di una piramide a base quadrata
In questo caso vediamo le formule utilizzate per calcolare l’area della superficie e il volume di una piramide a base quadrata con triangoli equilateri sulle facce. Per i calcoli è necessario conoscere il lato del quadrato di base b e l’altezza h , questa è la distanza dal centro del quadrato di base al vertice, come mostrato nella figura sopra. E s sarà l’altezza di ciascun triangolo equilatero che compone le facce della piramide, calcolabile con la seguente formula.
s = √ ((b/2) 2 + h 2 )
Come nei casi precedenti, l’area della superficie è la somma dell’area della base più l’area dei quattro triangoli equilateri delle facce.
- Superficie = 2bs + b 2
- Volume = (1/3) b 2h
6. Calcolo della superficie e del volume di un prisma triangolare isoscele
Per applicare le formule per il calcolo dell’area della superficie e del volume di un prisma triangolare isoscele sono necessari tre parametri, secondo la figura sopra; la base del triangolo isoscele b , l’altezza del triangolo h e la lunghezza del prisma l . Le definizioni si completano con i lati s del triangolo isoscele. I lati s del triangolo possono essere calcolati dagli altri dati del triangolo con la seguente formula.
s = √ ((b/2) 2 + h 2 )
Le formule per il calcolo della superficie e del volume sono le seguenti.
- Area = bh + 2 ls + lb
- Volume = (1/2)bh l
Se si desidera calcolare l’area della superficie e il volume di un prisma che non è un triangolo isoscele, è possibile applicare la seguente procedura. È possibile determinare l’area A e il perimetro P della base e utilizzare le seguenti formule.
- Superficie = 2A + P l
- Volume = A l
7. Calcolo dell’area e della lunghezza di un settore circolare
La figura in alto mostra il settore di un cerchio di raggio r definito dall’angolo θ , che può essere espresso in gradi o in radianti. Per calcolare l’area del settore circolare e la lunghezza dell’arco è necessario che l’angolo θ sia espresso in radianti, quindi se è espresso in gradi, la conversione va fatta utilizzando la seguente formula.
angolo θ in radianti = (angolo θ in gradi) π /180
L’area del settore circolare e la lunghezza dell’arco si calcolano con le seguenti formule.
- Area = (θ/2) r 2 θ in radianti
- Arco L = θr θ in radianti
L’area e circonferenza di un cerchio è un caso particolare di settore, che si verifica quando l’angolo θ è uguale a 2 π . Quindi, l’area e la circonferenza di un cerchio sono calcolate come segue.
- Area di un cerchio = π r 2
- Circonferenza = 2 π r
8. Calcolo dell’area di un’ellisse
Un’ellisse, detta anche ovale e identificabile come cerchio allungato, è l’insieme dei punti la cui somma delle distanze da due punti fissi detti fuochi è costante. Nella figura sopra, i fuochi sono rappresentati da due punti. Un’ellisse può essere definita dai suoi due semiassi, come mostrato in figura; il semiasse maggiore a e il semiasse minore b . L’area di un’ellisse si calcola con la seguente formula.
- Area = πab
9. Calcolo dell’area e del perimetro di un triangolo
Il triangolo è una delle forme geometriche più semplici e calcolarne il perimetro è facile, conoscendo la lunghezza di ciascuno dei suoi lati a, b e c .
- perimetro = a + b + c
Per calcolare l’area del triangolo occorre la lunghezza di uno dei suoi lati, b ad esempio nella figura sopra, e l’altezza h corrispondente a quel lato, determinata come lunghezza del segmento tracciato dal vertice opposto perpendicolare di lato b . L’area del triangolo è calcolata come
- Area = (1/2)bh
10. Calcolo dell’area e del perimetro di un parallelogramma
Un parallelogramma è un quadrilatero i cui lati opposti sono paralleli, come mostrato nella figura sopra. Poiché i lati opposti sono paralleli, la lunghezza dei lati opposti sarà uguale. Nel caso della figura, sono i lati di lunghezza a e b . Il perimetro di un parallelogramma è la somma dei suoi lati.
- Perimetro di un parallelogramma = 2a + 2b
Per calcolare l’area di un parallelogramma occorre l’altezza h ; la distanza tra due lati paralleli. L’area può essere calcolata con l’altezza e il lato corrispondente a tale altezza, b nel caso della figura.
- Area di un parallelogramma = bh
Un rettangolo è un caso particolare di parallelogramma; quando l’altezza h è uguale al lato a o, che è lo stesso, quando i lati adiacenti sono perpendicolari, il parallelogramma è un rettangolo e le formule del perimetro e dell’area sono le seguenti.
- Perimetro di un rettangolo = 2a + 2b
- Area di un rettangolo = ab
A sua volta, un quadrato è un caso particolare di un parallelogramma e di un rettangolo; quando i lati a e b sono uguali e i lati adiacenti sono perpendicolari. Le formule per perimetro e area di un quadrato di lato a sono le seguenti.
- perimetro di un quadrato = 4a
- Area di un rettangolo = a 2
11. Calcolo dell’area e del perimetro di un trapezio
Un trapezio è un quadrilatero che ha due lati opposti paralleli. Pertanto la lunghezza dei suoi quattro lati è diversa, nella figura in alto b , B , c e d , e per calcolarne il perimetro è necessario conoscere i quattro valori. Il perimetro di un trapezio si calcola sommando i quattro valori.
- Perimetro = b + B + c + d
Per calcolare l’area di un trapezio è necessario conoscere l’altezza h che si può osservare nella figura in alto, e cioè la distanza tra i due lati paralleli.
- Area = (1/2) (b + B)h
12. Calcolo dell’area e del perimetro di un esagono regolare
Un poligono con sei lati uguali è un esagono regolare. La lunghezza di ogni lato r è uguale alla distanza di ogni vertice dal centro dell’esagono. L’apotema ( a nella figura in alto) è la minima distanza dal centro dell’esagono a uno dei lati; è l’altezza di ciascun triangolo equilatero che compone l’esagono. Il perimetro di un esagono regolare è calcolato come
- perimetro = 6r
Mentre per calcolare l’area di un esagono regolare si utilizza la seguente formula
- Area = (3√3/2)r 2
13. Calcolo dell’area e del perimetro di un ottagono regolare
Un ottagono regolare è un poligono con otto lati uguali. Se la lunghezza di ciascun lato dell’ottagono è r , il perimetro di un ottagono regolare viene calcolato come
- perimetro = 8r
Mentre per calcolare l’area di un ottagono regolare si utilizza la seguente formula
- Area = 2(1+√2)r 2
Fontana
Wenninger, Magnus J. Modelli di Polyhedra Cambridge University Press, 1974.
