Quali sono i possibili risultati del lancio simultaneo di tre dadi?

Lanciare monete e dadi o rimuovere alla cieca palline da una scatola sono alcuni degli esperimenti più semplici che possiamo eseguire per testare la nostra comprensione dei diversi concetti relativi alla statistica. Sono esperimenti facili da eseguire, che chiunque può fare a casa, danno risultati chiari e univoci, e questi possono essere facilmente convertiti in dati numerici.

Nel caso del lancio dei dadi, c’è anche una chiara relazione tra questi e i giochi d’azzardo, che rende più tangibile l’applicazione della statistica in qualcosa che fa parte della vita quotidiana di molte persone o, almeno, qualcosa con ciò che quasi tutti di noi si sono imbattuti almeno una volta nella vita.

Tirare tre dadi contemporaneamente può produrre diversi tipi di risultati che possiamo interpretare in modi diversi. Possiamo essere interessati ai singoli risultati stessi, o possiamo essere interessati al valore della somma o al numero di risultati pari o dispari che escono tra i dadi, ecc. Dei tre, il più comune è interessarsi al risultato della somma dei valori dei tre dadi. Nelle sezioni seguenti, esploreremo come calcolare la probabilità di occorrenza di ciascuna delle somme quando si lanciano tre dadi contemporaneamente.

Lo spazio campione per lanciare tre dadi

Tirare un singolo dado cubo è un semplice esperimento che ha solo sei possibili risultati. Cioè, è un esperimento il cui spazio campionario è formato dai risultati S _{1 dati} = {1; 2; 3; 4; 5; 6}.

Quando si lanciano due dadi contemporaneamente, si può presumere che il risultato di ciascun dado sia indipendente dall’altro, in modo che ciascuno possa risultare in uno qualsiasi dei sei risultati precedenti. Questo porta come conseguenza che si possono dare 6 ² = 36 risultati possibili corrispondenti a tutte le possibili combinazioni tra i 6 valori di un dado e i 6 valori dell’altro.

In questo caso avremo uno spazio campionario di S _{2 dato} = {11; 12; 13; 14; quindici; 16; ventuno; 22; 23; 24; 25; 26; …; 61; 62; 63; 64; 65; 66}. Di questi 36 risultati, il numero di combinazioni uniche (senza considerare l’ordine) può essere calcolato mediante una combinatoria con ripetizione in cui si prendono gruppi di n = 2 (i due dadi che si lanciano) con m = 6 possibili risultati. :

Questi 21 risultati corrispondono a {11; 12; 13; 14; quindici; 16; 22; 23; 24; 25; 26; 33; 3.4; 35; 36; 44; Quattro cinque; 46; 55; 56; 66}. La probabilità di ciascuno di questi risultati corrisponde a 1/36 moltiplicato per il numero di diverse permutazioni che si possono creare con le cifre di ciascun numero (1 se il numero è ripetuto, come in 11, 22, ecc., e 2 se il numero numero non si ripete, poiché possiamo avere 12 o 21, 13 o 31, ecc.)

Nel caso di lancio di 3 dadi, il numero totale di possibili risultati nello spazio campionario è dato da 6 ³ = 216. Questi risultati sono S _{3 dadi} = {111; 112; 113; 114; 115; 116; 121; …; 126; 131; …; 136; …; 166; 211; 212; …; 656; 666}. In questo caso, la probabilità di ogni singolo risultato deve essere 1/216.

Probabilità di risultati individuali quando si lanciano tre dadi

Ora che abbiamo ben definito lo spazio campionario di tutti i possibili risultati del lancio di 3 dadi, vediamo come calcolare la probabilità di ognuno dei diversi risultati che si possono ottenere.

Nel caso di lancio di tre dadi, considerando che l’ordine in cui escono i risultati è irrilevante, molti dei 216 risultati verranno effettivamente ripetuti. Il numero totale di risultati unici può essere ricalcolato come combinazione di gruppi di 3 con 6 opzioni ciascuno e con possibilità di ripetizioni, ovvero:

Tra questi 56 risultati, quelli composti da tre numeri uguali (chiamiamoli AAA) si verificano una sola volta. Quelle con due figure uguali e una diversa (AAB) invece si ripetono 3 volte ciascuna (corrispondenti alle permutazioni AAB, ABA e BAA). Infine, chi ha tre figure diverse (ABC) ne apparirà 3! = 6 volte (ABC, ACB, BAC, BCA, CAB e CBA).

Da queste informazioni e dal numero totale di possibili risultati (216), possiamo calcolare la probabilità di ciascun risultato come

A seconda del risultato, ha 1, 2 o 3 figure diverse. I 56 possibili esiti e le relative probabilità sono mostrati nella tabella seguente:

Probabilità della somma lanciando tre dadi

Come accennato in precedenza, quando si lanciano i dadi, un risultato più importante del numero particolare su cui si ferma ogni testa è la somma dei dadi. Nell’esperimento in cui si lanciano tre dadi e si ottiene la somma, lo spazio campionario è costituito da tutte le possibili somme comprese tra tre numeri da 1 a 6.

Il valore più piccolo che può risultare da questa somma è quello che si ottiene quando i tre dadi si fermano su 1, ottenendo una somma di 1+1+1 = 3, mentre il valore massimo corrisponde a 6+6+6 = 18, con la possibilità di ottenere una qualsiasi delle somme intermedie. Pertanto, lo spazio campionario di questo esperimento corrisponde a:

S = {3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; undici; 12; 13; 14; quindici; 16; 17; 18}

L’ultima colonna della tabella mostra il numero totale di risultati forniti da ciascuna somma, inclusi i risultati equivalenti (da tutte le permutazioni di ciascuna combinazione univoca). Ad esempio, per la somma di 15, il lancio dei dadi deve essere 366, 356 o 555. Ma ci sono 3 permutazioni di 366 (366, 636 e 663) e 6 permutazioni di 356 (356, 365, 536, 563, 635 e 653) e uno solo su 555, quindi il numero totale di possibili risultati pari a 15 è 10.

Con la tabella precedente possiamo esercitarci a calcolare la probabilità di ciascuna somma per il lancio di tre dadi in due modi diversi. Questi sono dettagliati di seguito.

Strategia 1: utilizzo della probabilità di ogni risultato unico

La prima strategia consiste nel sommare la probabilità di tutti i risultati unici che ciascuna somma può dare. Ciò comporta l’utilizzo dei risultati univoci della terza colonna e la rispettiva probabilità di ciascun risultato presentato sopra.

Esempio

Supponiamo di voler calcolare la probabilità che la somma dei tre dadi sia 11 (ovvero P(11)). In questo caso, ci sono 6 combinazioni univoche (indipendentemente dall’ordine) che danno una somma di 11. Questi risultati sono (secondo la terza colonna della tabella sopra): {146; 155; 236; 245; 335; 344}.

La probabilità di ciascun risultato è determinata in base al numero totale di possibili permutazioni in ciascun caso, come spiegato nella sezione precedente. In questo caso:

Pertanto, la probabilità che il risultato della somma sia 11 sarà:

Allo stesso modo, se volessimo la probabilità che la somma sia 16, il risultato sarebbe la somma delle probabilità di 466 e 556, che sono entrambe uguali a 1/72, quindi la probabilità sarebbe:

Strategia 2: utilizzare il numero totale di risultati corrispondenti a ciascuna somma

In questo caso si segue un percorso più semplice, purché ci sia un elenco di tutti i possibili risultati per ogni sommatoria, comprese le permutazioni. Quindi la probabilità di ogni somma è semplicemente il numero totale di risultati per la somma diviso per il numero totale di possibili risultati (216).

Esempio

Nel caso di somma = 11, il numero totale di risultati possibili che danno tale somma è 27 (vedi terza colonna della tabella precedente), quindi la probabilità che la somma di 11 sia:

Come vedi il risultato è lo stesso di prima ed è molto semplice se abbiamo già costruito una tabella come la precedente. Tuttavia, per casi più complessi in cui ci sono più risultati possibili (come tirare 4, 5 o 4 dadi), questa strategia può essere meno conveniente e la prima più pratica.

Riferimenti

Graffe, S. (2021, 21 settembre). Qual è la probabilità che lanciando tre dadi la somma ottenga 7? Quora. https://en.quora.com/What%C3%A9-probabilidad-hay-que-al-lanzar-tres-dados-salga-una-sumatoria-de-7

Montagud Rubio, N. (2022, 17 marzo). Tecniche di conteggio: tipi, come usarli ed esempi . Psicologia e mente. https://psicologiaymente.com/miscelanea/tecnicas-de-conteo

Pisolini. (2017, 16 novembre). Tecniche di conteggio in probabilità e statistica . Naps Tecnologia e formazione. https://naps.com.mx/blog/tecnicas-de-conteo-en-probabilidad-y-estadistica/

Valdés Gómez, J. (2016, 23 novembre). Combinazioni con ripetizione . Youtube. https://www.youtube.com/watch?v=WqHZx64RW-Q