Regole di addizione in probabilità e statistica

Le regole di addizione in probabilità e statistica si riferiscono ai diversi modi in cui possiamo combinare le probabilità note di due o più eventi diversi per determinare la probabilità di nuovi eventi formati dall’unione di quegli eventi .

In statistica e probabilità, spesso conosciamo la probabilità che determinati eventi (ad esempio, gli eventi A e B) si verifichino separatamente ma non la probabilità che si verifichino contemporaneamente o che si verifichi l’uno o l’altro. È qui che le regole di addizione tornano utili.

Ad esempio: possiamo conoscere la probabilità di ottenere un sei quando si lanciano due dadi, chiamarla P (tiro 6), e la probabilità che entrambi i dadi finiscano su numeri pari, chiamarla P (numeri pari).

Questo è relativamente facile. Ma a volte ci interessa determinare la probabilità che, quando si lanciano due dadi, entrambi escano un numero pari o che la loro somma dia sei. Nella notazione statistica e nella teoria dei gruppi, questo “o” è rappresentato con il simbolo U che indica l’unione di due eventi e in questo caso tale probabilità sarebbe rappresentata come segue:

Questi tipi di probabilità possono essere calcolati dalle singole probabilità e da alcuni dati aggiuntivi mediante le regole di addizione.

Va notato che quale regola di addizione dovremmo usare in ciascun caso dipende sia dal numero di eventi che stiamo considerando sia dal fatto che questi eventi si escludano a vicenda. Di seguito sono descritte le regole di addizione per alcuni casi semplici.

Caso 1: regola di addizione per eventi disgiunti o mutuamente esclusivi

Due eventi si dicono mutuamente esclusivi quando il verificarsi di uno di essi esclude la possibilità che si verifichi l’altro. Cioè, sono eventi che non possono verificarsi contemporaneamente. Ad esempio, quando si lancia un dado, quello in cui esce il risultato 4 esclude che sia uscito uno qualsiasi degli altri 5 possibili risultati.

Se consideriamo due o più eventi (A, B, C…) mutuamente esclusivi, la probabilità di unione consiste semplicemente nella somma delle probabilità individuali di ognuno di questi eventi. Cioè, in questo caso la probabilità di unione è data da:

Questo può essere facilmente compreso mediante un diagramma di Venn. Qui lo spazio campionario è rappresentato da un’area rettangolare; mentre, la probabilità di ogni evento è rappresentata da settori all’interno di questa area più ampia. In un diagramma di Venn, gli eventi che si escludono a vicenda sono visti come aree separate che non si toccano né si sovrappongono.

In questo tipo di diagrammi il calcolo della probabilità di unione consiste nell’ottenere l’area totale occupata da tutti gli eventi di cui stiamo considerando le probabilità. Nel caso dell’immagine precedente, ciò implica ottenere l’area totale dei settori A, B e C, ovvero l’area blu nella figura seguente.

È facile vedere che se gli eventi sono disgiunti come nel caso delle due immagini sopra, la probabilità di unione è semplicemente la somma delle tre aree.

Esempio 1: Calcolo della probabilità di ottenere un risultato pari lanciando un dado

Supponiamo di lanciare un dado e di voler conoscere la probabilità di ottenere un numero pari. Poiché gli unici numeri pari possibili su un dado a 6 facce sono 2, 4 e 6, allora quello che vogliamo veramente sapere è la probabilità che il dado esca su 2, 4 o 6, poiché in uno di questi casi sono caduti in un numero pari.

La probabilità di ottenere una qualsiasi delle 6 teste è 1/6 (purché sia ​​un dado giusto). Inoltre, come abbiamo visto poco fa, i tre esiti sono eventi che si escludono a vicenda poiché, se 2 tira, 4 o 6 non avrebbero potuto uscire, e così via. In queste condizioni, la probabilità di unione è data da:

Caso 2: Regola di addizione per due eventi che non si escludono a vicenda

Se A e B sono eventi che condividono esiti tra loro, cioè possono verificarsi contemporaneamente, si dice che gli eventi non si escludono a vicenda. In questo caso, il diagramma di Venn si presenta così:

Come si può vedere, esiste una regione dello spazio campionario in cui entrambi gli eventi si verificano contemporaneamente. Se vogliamo determinare la probabilità di unione, cioè P(AUB), dobbiamo trovare l’area indicata nel diagramma di Venn a destra nella figura precedente.

È facile vedere che in questo caso, se sommiamo solo le aree di A e B, conteremo l’area comune due volte, quindi otterremo un’area (leggi, probabilità) più grande di quella che vogliamo. Per correggere questo errore in eccesso, è sufficiente sottrarre l’area condivisa dagli eventi A e B, che corrisponde alla probabilità di intersezione:

Questa espressione per la probabilità di unione vale anche per il caso precedente poiché, essendo mutuamente esclusive, la probabilità che si verifichino contemporaneamente (probabilità di intersezione) è zero.

Esempio 2: Calcolo della probabilità di ottenere un risultato pari o di ottenere un numero inferiore a 4 lanciando un dado

In questo caso, entrambi gli eventi condividono l’esito 2, che è sia pari che minore di 4, quindi la probabilità di unione sarà:

Caso 3: Regola di addizione per tre eventi che non si escludono a vicenda

Un altro caso leggermente più complesso è quando si verificano 3 eventi che non si escludono a vicenda, come quello mostrato nel seguente diagramma di Venn:

In questo caso la somma delle tre aree conta due volte le zone di intersezione tra A e B, tra B e C e tra C e D, e conta tre volte la zona di intersezione dei tre eventi A, B e C. Se facciamo come prima e sottraiamo le aree di intersezione tra ogni coppia di eventi dalla somma delle tre aree, andremo a sottrarre tre volte l’area del centro, quindi va aggiunta come probabilità di intersezione dei tre eventi. Infine, la regola generale di addizione per tre eventi non esclusivi è data da:

Come prima, questa espressione è generale per qualsiasi insieme di tre eventi, siano essi disgiunti o meno, poiché, in questo caso, le intersezioni saranno vuote e il risultato sarà la stessa espressione del primo caso.

Esempio 3: Calcolo della probabilità di ottenere un numero pari, un numero inferiore a 10 o un numero primo su un dado a 20 facce

In questo caso ci sono tre eventi che condividono esiti tra loro e contengono anche esiti non condivisi, quindi la probabilità di unione è data dalla suddetta espressione.

Le probabilità dei singoli eventi sono:

Ora, le probabilità di intersezione sono:

Ora, applicando l’equazione per la probabilità di unione:

Riferimenti

• brillante. (nd). Probabilità – Regola della somma | Brillante matematica e scienza Wiki . Estratto da https://brilliant.org/wiki/probability-rule-of-sum/
• lume. (nd). Regole di probabilità | Statistiche illimitate . Estratto da https://courses.lumenlearning.com/boundless-statistics/chapter/probability-rules/#:%7E:text=The%20addition%20rule%20states%20the,probability%20that%20both%20will%20happen .
• MateMobile. (2021, 1 gennaio). Regola della somma o somma delle probabilità | matermobile . Estratto da https://matemovil.com/regla-de-la-suma-o-adicion-de-probabilidades/
• Webster, A. (2001). Statistiche applicate alle imprese e all’economia (edizione spagnola) . Toronto, Canada: Irwin Professional Publishing.