Formule per trovare il momento di inerzia

Il momento d’inerzia rotazionale o, semplicemente, l’inerzia rotazionale, è una grandezza fisica scalare tipica di qualsiasi oggetto dotato di massa, e che misura quanto sia difficile farlo ruotare attorno ad un certo asse di rotazione. È l’equivalente rotazionale dell’inerzia lineare e, come tale, è una grandezza che esprime la difficoltà a variare la velocità di un oggetto, sia esso fermo o in movimento, con la differenza che, in questo caso, si tratta di un angolo velocità.

Questa grandezza è di grande importanza nella descrizione del movimento di rotazione in quanto permette di comprendere la differenza di comportamento di corpi che, pur avendo la stessa forma esterna e massa, si comportano diversamente quando sottoposti a forze torcenti che tendono a farli rotazione. Questa differenza deriva dalla differenza nella distribuzione della massa del corpo attorno all’asse di rotazione. Quanto sopra implica che uno stesso corpo può avere momenti d’inerzia rotazionale diversi a seconda della sua posizione rispetto all’asse di rotazione, dando luogo quindi a diverse formule per il calcolo del momento d’inerzia.

Detto quanto sopra, è chiaro che esistono tante formule per trovare il momento di inerzia quante sono le possibili forme degli oggetti esistenti e gli assi di rotazione. Tuttavia, ci sono alcuni casi particolari di forme geometriche regolari che ruotano attorno ad assi che si presentano naturalmente nella pratica. Nelle sezioni seguenti vedremo le formule più importanti per determinare il momento di inerzia rotazionale di questi corpi.

Formula per il momento d’inerzia di una particella puntiforme

Il momento d’inerzia di una particella puntiforme corrisponde alla definizione originaria di questa grandezza fisica. Questa espressione deriva dall’espressione per l’energia cinetica rotazionale quando è scritta in termini di velocità angolare, w.

Supponiamo di avere una particella di massa m che ruota attorno ad un asse centrale come il seguente:

L’energia cinetica di questa particella, come quella di qualsiasi altra particella in movimento, è determinata dalla metà del prodotto tra la sua massa e la sua velocità (la grandezza della sua velocità) elevato al quadrato, cioè 1/2 mv ² . Tuttavia, se l’unico movimento che questa particella descrive è la rotazione attorno all’asse (non c’è traslazione), possiamo esprimere la velocità lineare della particella in funzione della sua velocità angolare, scrivendo v = rω. Così facendo l’energia cinetica, che in questo caso è esclusivamente energia cinetica rotazionale, viene espressa come:

Dove il momento d’inerzia, I , della particella è definito come:

In questa espressione, m è la massa della particella puntiforme ed r è il raggio di rotazione o, che è lo stesso, la distanza dall’asse di rotazione alla particella.

Formula per il momento d’inerzia di un insieme di particelle puntiformi

Supponiamo ora di non avere una singola particella che ruota attorno ad un asse, ma di avere un sistema formato da n particelle, ciascuna con una massa particolare, m i , e ciascuna ruotante a una distanza r _i dall’asse _di rotazione , come il sistema a tre particelle mostrato di seguito.

Se volessimo calcolare l’energia cinetica totale di questo sistema, dovremmo solo sommare le energie cinetiche di ciascuna delle tre particelle. Se estendiamo questa idea al caso generale di n particelle e assumiamo che si muovano tutte alla stessa velocità angolare (perché ruotano insieme), allora l’energia cinetica rotazionale totale del sistema sarà data da:

Da dove segue che il momento d’inerzia totale di un sistema di n particelle che ruotano insieme attorno allo stesso asse, ciascuna con una propria massa e un proprio raggio di rotazione, è dato da:

Questa formula funziona sia per particelle puntiformi che per particelle sferiche di qualsiasi dimensione, purché l’asse di rotazione sia esterno alla sfera. Se questa condizione è soddisfatta, il raggio corrisponde alla distanza tra l’asse e il centro della sfera e la massa corrisponde alla massa totale della sfera.

Formula integrale del momento d’inerzia dei corpi rigidi

La formula precedente per il momento di inerzia si applica a sistemi formati da particelle puntiformi e discrete. Tuttavia può essere esteso a corpi rigidi che hanno una distribuzione continua di massa, proprio come accade approssimativamente con corpi macroscopici.

In questi casi, il calcolo del momento d’inerzia consiste nel suddividere il corpo in piccoli elementi di massa (Δm _i ), ognuno dei quali si trova a una distanza r _i dall’asse di rotazione, e quindi applicare l’equazione precedente. Tuttavia, se spingiamo la dimensione dell’elemento di massa al limite in cui diventa un elemento infinitesimale o un differenziale di massa (dm), allora la sommatoria diventa l’integrale, come mostrato di seguito:

Questa è l’espressione generale per trovare il momento d’inerzia di qualsiasi corpo rigido, qualunque sia la sua forma o la sua distribuzione di massa. Nella maggior parte dei casi, per effettuare l’integrazione, l’elemento massa, dm , viene sostituito dal prodotto della densità del corpo moltiplicato per il differenziale di volume, dV . Ciò consente di effettuare l’integrazione su tutto il volume del corpo rigido, anche se la distribuzione delle masse non è uniforme (purché sia ​​noto come varia a seconda della posizione).

In questo caso l’espressione integrale del momento d’inerzia diventa:

Successivamente, presenteremo il risultato dell’integrazione dell’espressione precedente per diversi corpi rigidi con forme regolari come anelli, cilindri e sfere, tra gli altri. In tutti i casi descritti di seguito, le dimensioni e le masse dei corpi considerati sono rappresentate con lettere maiuscole, per distinguerle dalle variabili di integrazione.

Formula per il momento d’inerzia di un anello sottile uniforme di raggio R attorno al suo asse centrale

Uno dei casi più semplici quando si integra l’equazione precedente è quello di un anello uniforme che ruota attorno al proprio centro di simmetria. La figura seguente mostra questo caso.

Nel caso particolare in cui lo spessore dell’anello sia trascurabile rispetto al suo raggio, possiamo considerarlo come una massa distribuita lungo una circonferenza senza spessore, in modo che tutti gli elementi massa siano sostanzialmente allo stesso raggio, in In questo caso, R. Date queste condizioni, il raggio lascia l’integrale, lasciando solo l’integrale della massa differenziale, dm, che è semplicemente la massa dell’anello, M. Il risultato è:

In questa espressione, CM indica che è il momento di inerzia rispetto al proprio centro di massa.

Formula del momento d’inerzia di una sfera solida di raggio R che ruota attorno al proprio centro

Nel caso di una sfera solida di raggio R e densità uniforme, che ruota attorno a uno qualsiasi dei suoi diametri (un asse che passa per il suo centro) come quello mostrato sotto, l’integrale precedente può essere risolto in diversi modi, tra i quali sono utilizzando un sistema di coordinate sferiche.

Il risultato dell’integrazione in questo caso è:

Formula per il momento di inerzia di un guscio sferico di raggio interno R ₁ e raggio esterno R ₂ attorno al suo centro

Se invece di una sfera piena si tratta di una sfera cava o di un guscio sferico con pareti spesse, dobbiamo considerare due raggi, l’esterno e l’interno. Questi sono mostrati nella figura seguente.

In questo caso la soluzione è considerare il guscio sferico come una sfera di raggio R2 dalla quale è stata allontanata dal suo centro una sfera dello stesso materiale di raggio R1. Dopo aver determinato la massa che avrebbe avuto la sfera grande e quella della sfera piccola che è stata ritirata attraverso la densità del guscio originario, si sottraggono le inerzie di entrambe le sfere per ottenere:

Formula per il momento d’inerzia di un sottile guscio sferico di raggio R rispetto al suo centro

Nel caso in cui lo spessore del guscio sferico sia trascurabile rispetto al suo raggio o, che è lo stesso, che R ₁ sia praticamente uguale a R ₂ , possiamo calcolare il momento di inerzia come se fosse una distribuzione superficiale di massa, il tutto situato a distanza R dal centro.

In questo caso abbiamo due opzioni. Il primo è risolvere l’integrale da zero. Il secondo è prendere il risultato precedente, quello del guscio sferico spesso, e ottenere il limite quando R1 tende a R2. Il risultato è il seguente:

Formula per il momento d’inerzia di un’asta sottile di lunghezza L attorno ad un asse perpendicolare attraverso il suo centro di massa

Quando abbiamo una barra sottile, in sostanza, possiamo pensarla come una distribuzione lineare della massa, indipendentemente dalla forma del suo profilo (cioè, indipendentemente dal fatto che si tratti di una barra cilindrica, quadrata o di qualsiasi altra forma). In questi casi l’unica cosa che conta è che l’impasto sia distribuito uniformemente lungo tutta la lunghezza della barra.

In questo caso il momento d’inerzia è espresso come:

Formula per il momento d’inerzia di un’asta sottile di lunghezza L attorno ad un asse perpendicolare attraverso un’estremità

Questo è lo stesso caso di cui sopra, ma con l’intera barra che ruota attorno a un asse perpendicolare da un’estremità:

Poiché la massa della barra si trova mediamente a una distanza maggiore dall’asse di rotazione, il momento d’inerzia sarà maggiore. Infatti, è quattro volte maggiore del caso precedente, come mostra la seguente espressione:

Si noti che in questo caso l’asse non passa per il centro di massa, quindi il pedice CM del simbolo del momento d’inerzia è stato omesso.

Formula per il momento d’inerzia di una barra cilindrica solida di raggio R attorno al suo asse centrale

Questo caso è risolto in modo molto semplice utilizzando un sistema di coordinate cilindriche e considerando il cilindro come se fosse formato da gusci cilindrici concentrici di uguale lunghezza, ma con raggi diversi. Quindi il raggio è integrato da r = 0 a r = R.

Il risultato di questo processo è la formula per l’inerzia di una barra cilindrica, che è:

Si noti che, poiché questo risultato non dipende dalla lunghezza del cilindro, la stessa espressione può essere utilizzata per il caso di un disco circolare.

Formula per il momento d’inerzia di un cilindro cavo di raggio interno R ₁ e raggio esterno R ₂ attorno al suo asse centrale

Questo caso è simile a quello del guscio sferico spesso. Si applica quando lo spessore del guscio, ovvero la differenza tra i suoi raggi esterni ed interni, è dello stesso ordine di grandezza dei raggi stessi e, quindi, non si può ritenere che la massa sia concentrata su una superficie. Al contrario, bisogna considerare che si tratta di una distribuzione tridimensionale della massa lungo lo spessore della conchiglia.

Come nel caso del guscio sferico spesso, il momento di inerzia di un cilindro cavo con raggio interno R ₁ e raggio esterno R ₂ può essere trovato per integrazione diretta, ovvero sottraendo il momento di inerzia dal cilindro che è stato ricavato, all’apertura del foro centrale, del momento d’inerzia di un cilindro solido che ha la stessa densità del guscio, utilizzando la formula della sezione precedente per ognuna di queste due inerzie.

Il risultato di una di queste due strategie è lo stesso ed è presentato di seguito:

Come nel caso precedente, poiché questo risultato non dipende dalla lunghezza del cilindro, possiamo utilizzarlo per calcolare il momento d’inerzia di un disco circolare con un foro al centro, come ad esempio una rondella o un Disco Blu-ray.

Formula per il momento d’inerzia di un guscio cilindrico sottile di raggio R attorno al suo asse centrale

Nel caso in cui abbiamo un cilindro cavo come quello mostrato nella figura seguente, in cui lo spessore del guscio cilindrico è molto piccolo rispetto al raggio del cilindro, possiamo supporre che la massa sia distribuita solo sulla superficie di raggio R .

Come negli altri casi, possiamo effettuare l’integrazione diretta utilizzando la densità di massa areale, oppure possiamo valutare il risultato del guscio cilindrico spesso nel limite dove R1 tende a R2. Il risultato è:

Di nuovo notiamo che questo risultato è indipendente dalla lunghezza. Ciò significa che si applica ugualmente a un cerchio sottile. Possiamo infatti verificare che si tratta dello stesso risultato ottenuto nella sezione corrispondente ad un anello sottile.

Formula per il momento d’inerzia di una piastra rettangolare regolare attorno ad un asse perpendicolare passante per il suo centro

Si consideri infine il caso di una piastra rettangolare che ruota attorno ad un asse perpendicolare a una qualsiasi delle sue superfici, passante per il suo centro di massa, come quello mostrato sotto.

Il risultato dell’integrazione diretta è:

Come nei casi precedenti, questo risultato è indipendente dall’altezza o dallo spessore della lastra, quindi vale sia per un foglio di carta che per un solido blocco di cemento.

Riferimenti

Khan Academy. (nd). Inerzia rotazionale (articolo) . https://en.khanacademy.org/science/physics/torque-angular-momentum/torque-tutorial/a/rotational-inertia

Una classe. (2020, 6 ottobre). OneClass: a partire dalla formula per il momento di inerzia di un’asta . https://oneclass.com/homework-help/physics/6942744-moment-of-inertia-bar.en.html

Serway, RA, Beichner, RJ e Jewett, JW (1999). Fisica per scienziati e ingegneri con fisica moderna: 2: Vol. Volume I (quinta edizione). McGraw Hill.

Risolvi a scatto. (nd). Il momento di inerzia di un guscio sferico spesso e cavo . https://www.snapsolve.com/solutions/Themoment-of-inertia-of-a-hollow-thick-spherical-shell-of-mass-M-and-its-inner-r-1681132593667073