Bagaimana varian dari distribusi Poisson dihitung

Variansi variabel acak adalah ukuran penyebarannya di sekitar rata-rata . Artinya, ini adalah kuantitas yang menunjukkan penyebaran rata-rata dari nilai variabel tersebut di kedua sisi rata-rata atau amplitudo distribusi probabilitasnya. Parameter ini merupakan kuantitas penting untuk setiap variabel acak, terlepas dari distribusi probabilitasnya.

Di sisi lain, distribusi Poisson adalah distribusi probabilitas diskrit yang berfungsi untuk memodelkan frekuensi peristiwa diskrit yang terjadi dalam interval waktu , meskipun dapat juga dirujuk dalam kaitannya dengan variabel kontinu lainnya, seperti panjang kawat. , permukaan, dll.

Distribusi Poisson sangat penting, karena memungkinkan proses pemodelan harian sebanyak jumlah orang yang mengantri di kantor tiket ATM, serta proses serumit jumlah peluruhan radioaktif dalam interval waktu tertentu. dari sampel limbah nuklir.

Definisi matematika dari distribusi Poisson

Variabel acak X mengikuti distribusi Poisson jika fungsi massa probabilitasnya atau PMF memiliki bentuk berikut:

Dalam rumus, λ adalah parameter distribusi yang selalu positif dan x mewakili nilai berbeda yang dapat diambil oleh variabel acak. Dalam proses Poisson, parameter λ umumnya menyatakan kecepatan atau frekuensi per satuan waktu, per satuan luas, dan seterusnya.

Seperti yang akan kita tunjukkan nanti, λ , pada gilirannya, adalah rata-rata dari distribusi Poisson, serta variansnya.

Sekarang kita tahu apa fungsi distribusi ini dan untuk apa, mari kita lihat definisi varians yang lebih formal, cara umum untuk menghitungnya, dan terakhir, bagaimana varians dihitung untuk kasus tertentu dari distribusi Poisson.

Apa variansnya?

Secara matematis, varians dari variabel acak X, dilambangkan dalam statistik dengan Var(X) , sesuai dengan nilai yang diharapkan dari kuadrat deviasi variabel tersebut dari meannya, yang dinyatakan dengan rumus berikut:

Meskipun definisi sebelumnya dapat digunakan untuk menghitung varians dari setiap variabel acak, juga dapat dihitung dengan lebih mudah menggunakan momen biasa pertama dan kedua, atau momen di sekitar titik asal (m 1 , m 2 ₎ sebagai _berikut :

Cara menghitung varians ini lebih mudah daripada yang pertama, jadi inilah yang akan kita gunakan dalam artikel ini untuk menghitung varians dari distribusi Poisson.

Perhitungan varian dari distribusi Poisson

Perhitungan rata-rata atau momen biasa pertama

Mari kita ingat bahwa, untuk sebarang distribusi diskrit, rata-rata atau ekspektasi dari X dapat ditentukan melalui ekspresi berikut, yang mendefinisikan momen pertama:

Kita dapat mengambil jumlah ini dari x=1 dan seterusnya, karena suku pertama adalah nol. Juga, jika sekarang kita mengalikan dan membagi semuanya dengan λ dan juga mengganti x!/x dengan (x-1)! , kami memperoleh:

Ungkapan ini dapat disederhanakan dengan mengubah variabel y = x – 1 , menjadi:

Fungsi di dalam penjumlahan sekali lagi adalah fungsi probabilitas Poisson, yang menurut definisi, adalah penjumlahan semua probabilitas dari nol hingga tak terhingga dari setiap fungsi probabilitas yang harus sama dengan 1.

Kita sudah memiliki momen pertama atau rata-rata dari fungsi Poisson. Kami sekarang akan menggunakan hasil ini dan ekspektasi kuadrat dari X untuk menemukan variansnya.

Perhitungan momen biasa kedua

Momen kedua diberikan oleh:

Kita dapat menggunakan sedikit trik untuk menyelesaikan penjumlahan ini yang terdiri dari mengganti x ² dengan x(x-1)+x:

Dimana kita menggunakan hasil sebelumnya pada suku kedua penjumlahan, kita mengalikan dan membagi dengan λ ² untuk mendapatkan eksponen λ ^x-2 dan kita menerapkan perubahan variabel y = x – 2 .

Sekarang yang tersisa hanyalah mengganti kedua momen ini dalam rumus varians, dan kita akan mendapatkan hasil yang diharapkan:

Referensi

Devore, J. (2021). Probabilitas dan Statistik untuk Teknik dan Sains . PEMBELAJARAN CENGAGE.

Rodó, P. (2020, 4 November). distribusi Poisson . Ekonomipedia. https://economipedia.com/definiciones/distribucion-de-poisson.html

UNAM [Luis Rincon]. (2013, 16 Desember). Distribusi Poisson 0625 [Video]. Youtube. https://www.youtube.com/watch?v=y_dOx8FhHpQ