Interval kepercayaan untuk perbedaan dua proporsi populasi

Interval kepercayaan (CI) digunakan dalam statistik inferensial sebagai alat untuk memperkirakan nilai parameter populasi. Ini memberikan lebih banyak informasi tentang nilai sebenarnya dari suatu parameter daripada penaksir titik, karena mereka mewakili interval nilai dengan lebar hingga di mana kita memiliki tingkat kepercayaan tertentu bahwa nilai sebenarnya dari parameter akan berada. Yang terakhir adalah sesuatu yang tidak disediakan oleh estimator titik.

Interval kepercayaan untuk dua populasi

Ketika kita tertarik untuk membandingkan dua populasi yang berbeda, kita sering tertarik untuk mengetahui apakah parameter tertentu dari salah satunya lebih besar dari, kurang dari, atau sama dengan parameter yang sesuai dari yang lain. Misalnya, ketika membandingkan kinerja dua motor listrik, kita mungkin tertarik untuk menentukan apakah torsi motor A lebih besar atau tidak dari motor B. Dalam hal ini, kita membandingkan dua rata-rata populasi.

Namun, seringkali kita tertarik untuk membandingkan, bukan nilai rata-rata dari suatu parameter, tetapi proporsi populasi yang memenuhi atau tidak memenuhi kondisi tertentu. Dalam hal ini, yang diinginkan adalah menetapkan interval kepercayaan untuk memperkirakan nilai selisih antara dua proporsi populasi.

Kesimpulan tentang perbedaan dua proporsi populasi P ₁ -P ₂

Ada banyak situasi berbeda di mana kita mungkin tertarik pada perbedaan antara dua proporsi populasi. Seperti yang kami sebutkan sebelumnya, perbedaan ini memungkinkan kami untuk membandingkan proporsi yang setara dalam dua populasi yang berbeda. Beberapa contoh masalah penelitian yang memerlukan penetapan interval kepercayaan untuk selisih antara dua proporsi populasi disajikan di bawah ini:

• Dalam uji klinis pengobatan medis baru, sangatlah penting untuk membandingkan proporsi individu yang menunjukkan peningkatan kondisi medis mereka dalam populasi yang menerima pengobatan dengan proporsi yang sama pada kelompok individu yang hanya menerima plasebo.
• Ketika kita ingin membandingkan proporsi perempuan dan laki-laki yang setuju atau tidak setuju dengan ukuran pemerintah tertentu.
• Dalam bisnis, kita sering tertarik untuk membandingkan kualitas proses pembuatan di dua jalur produksi yang berbeda. Dalam hal ini, proporsi barang cacat atau tidak sesuai yang diproduksi oleh kedua lini produksi dalam periode waktu tertentu dapat dibandingkan.
• Di bidang mikrobiologi, kita mungkin tertarik membandingkan proporsi koloni bakteri yang bertahan hidup setelah diperlakukan dengan disinfektan kimia yang berbeda.
• Pemasar sering melakukan pengujian A/B untuk menentukan konten apa di halaman web yang paling efektif dalam mengonversi prospek menjadi pembeli. Untuk melakukannya, separuh dari orang yang mengakses situs web diperlihatkan konten (A) dan separuh lainnya diperlihatkan konten alternatif (B) untuk kemudian membandingkan proporsi pengunjung yang benar-benar membeli produk atau layanan yang disarankan. .

Dari perbandingan P ₁ dan P ₂ hingga selisih P ₁ – P ₂

Masih banyak lagi contoh situasi di mana kita mungkin tertarik untuk membandingkan proporsi dua populasi yang berbeda. Perbandingan ini dapat dilakukan dengan berbagai cara. Misalnya, kita mungkin ingin tahu apakah:

• Kedua proporsi sama (P ₁ = P ₂ )
• Proporsi 1 lebih besar dari proporsi 2 (P ₁ > P ₂ )
• Proporsi 1 lebih kecil dari proporsi 2 (P ₁ < P ₂ )

Dalam salah satu kasus ini, pernyataan ini dapat ditulis ulang dalam bentuk perbedaan antara proporsi:

• Jika kita tertarik untuk mengetahui apakah P ₁ = P ₂ , ini setara dengan menentukan apakah P ₁ – P ₂ = 0
• Jika kita tertarik untuk mengetahui apakah P ₁ > P ₂ , ini setara dengan menentukan apakah P ₁ – P ₂ > 0
• Jika kita tertarik untuk mengetahui apakah P ₁ < P ₂ , ini setara dengan menentukan apakah P ₁ – P ₂ < 0

Oleh karena itu, setiap perbandingan antara proporsi populasi dapat diselesaikan dengan menemukan selang kepercayaan untuk perbedaan antara proporsi populasi dan kemudian melakukan analisis yang sesuai terhadap hasilnya.

Tetapi bagaimana interval kepercayaan ini ditetapkan?

Ini dicapai dengan menganalisis sampel dari setiap populasi dan menggunakan alat statistik inferensial. Prosedur ini bergantung pada apakah kita bekerja dengan sampel besar atau kecil.

Interval Keyakinan Estimasi selisih dua proporsi populasi dari sampel besar (n ≥ 30)

Interval kepercayaan untuk perbedaan proporsi populasi dapat diselesaikan sebagai perpanjangan dari interval kepercayaan untuk proporsi binomial dalam suatu populasi. Dalam kasus proporsi binomial (yaitu, hasil percobaan atau pengamatan adalah sukses atau gagal dan P mewakili probabilitas keberhasilan), distribusi proporsi dalam sampel besar ( p ) mengikuti distribusi yang mendekati normal dengan rata – rata P (proporsi populasi) dan varians P(1 – P)/n , selama probabilitas keberhasilannya tidak terlalu tinggi atau terlalu rendah (yaitu, masing-masing tidak terlalu dekat dengan 1 atau 0) .

Dalam kasus perbedaan antara dua proporsi populasi, P ₁ – P ₂ , kita dapat menetapkan batas interval kepercayaan dari dua sampel independen dengan proporsi p ₁ dan p ₂ . Jika sampel ini memenuhi kondisi yang sama seperti di atas (sampel n ₁ dan n ₂ besar, dan proporsi p ₁ dan p ₂ jauh dari 1 dan 0) dan karena itu mengikuti distribusi normal, selisihnya juga akan mengikuti distribusi normal dengan rata-rata P ₁ – P ₂ dan varians p ₁ (1 – p ₁ )/n ₁ + p ₂(1 – hal ₂ )/n ₂ .

Mengingat hasil ini, interval kepercayaan untuk perbedaan dua proporsi populasi yang diperoleh dari sampel besar, dengan tingkat kepercayaan 100(1 – α)%, di mana α mewakili tingkat signifikansi, diberikan oleh:

Dalam rumus di atas, Z _α/2 sesuai dengan nilai Z dalam distribusi normal baku yang menyisakan luas α/2 di sebelah kanannya.

Interval kepercayaan untuk selisih dua proporsi populasi dari sampel kecil (n < 30)

Jika salah satu ukuran sampel kurang dari 30, atau jika salah satu proporsinya sangat mendekati 0 atau 1, distribusi Anda tidak dapat mendekati distribusi normal secara memadai. Dalam hal ini, selisih kedua proporsi juga tidak akan mengikuti distribusi normal, oleh karena itu rumus interval kepercayaan di atas tidak berlaku.

Kesimpulan tentang perbedaan proporsi populasi berdasarkan sampel kecil sangat kompleks, dan berada di luar cakupan artikel ini.

Interpretasi interval kepercayaan untuk selisih dua proporsi populasi

Setelah menghitung interval kepercayaan untuk selisih dua proporsi populasi, hasil yang diperoleh harus diinterpretasikan. Tiga hasil dapat diberikan yang ditafsirkan berbeda.

Mari kita pertimbangkan setiap kasus di mana selang kepercayaan diperoleh dengan tingkat kepercayaan 100(1 – α)% atau, sederhananya, tingkat signifikansi α, yang batas bawah dan batas atasnya masing-masing adalah LI dan LS. Artinya:

Bergantung pada tanda batas yang diperoleh, kita dapat mencapai kesimpulan berbeda mengenai perbedaan antara kedua proporsi populasi:

• Jika batas bawah dan atas keduanya negatif, maka kita dapat mengatakan, dengan tingkat kepercayaan 100(1 – α)%, bahwa proporsi pada populasi 2 lebih besar daripada proporsi masing-masing pada populasi 1. Artinya, kita dapat mengatakan bahwa P ₁ < P ₂ atau bahwa P ₂ > P ₁ .
• Jika batas bawah negatif dan batas atas positif, sehingga selang kepercayaan mengandung nol, maka kita dapat mengatakan, dengan tingkat kepercayaan 100(1 – α)%, bahwa tidak ada perbedaan antara keduanya. . Artinya, disimpulkan bahwa P ₁ = P ₂ .
• Akhirnya, jika batas bawah dan atas keduanya positif, maka kita dapat mengatakan, dengan tingkat kepercayaan 100(1 – α)%, bahwa proporsi populasi 1 lebih besar daripada proporsi populasi 2 masing-masing. P ₁ > P ₂ .

Contoh menghitung interval kepercayaan untuk dua proporsi populasi

penyataan

Misalkan sebuah survei dilakukan pada sampel acak dari 250 mahasiswa teknik Meksiko untuk mengetahui berapa persen dari mereka yang menguasai konsep interval kepercayaan. Hasil survei menunjukkan bahwa 64,8% tidak mendominasi, sedangkan sisanya mendominasi. Di sisi lain, survei yang sama dilakukan pada sampel 180 mahasiswa teknik Spanyol, dimana 54 mahasiswa menjawab bahwa mereka telah menguasai konsep selang kepercayaan.

Apakah ada perbedaan antara proporsi siswa Spanyol dan Meksiko yang menguasai konsep selang kepercayaan, pada tingkat signifikansi 0,05?

Larutan

Seperti yang dapat kita lihat dari pertanyaan, yang kita inginkan adalah menentukan ada atau tidaknya perbedaan antara proporsi dua populasi yang berbeda. Proporsi minat terdiri dari proporsi siswa yang benar-benar menguasai konsep interval kepercayaan, sehingga dalam hal ini, menanggapi survei secara afirmatif merupakan keberhasilan dari sudut pandang eksperimen binomial.

Untuk populasi siswa Meksiko, sampelnya adalah 250 siswa, dan mereka menunjukkan bahwa proporsi siswa yang tidak menguasai mata pelajaran tersebut adalah 64,8%. Tapi ini bukan proporsi yang kita inginkan, karena tidak menguasai subjeknya adalah sebuah kegagalan. Oleh karena itu, proporsi ini sesuai dengan komplemen q . Mengingat hal ini, proporsi keberhasilan, p, untuk sampel siswa Meksiko adalah:

Di sisi lain, dalam kasus sampel siswa Spanyol, kami memiliki jumlah keberhasilan dan ukuran total sampel, sehingga proporsi keberhasilannya adalah:

Hasil ini dirangkum dalam tabel berikut.

Seperti yang bisa kita lihat, kedua ukuran sampel jauh lebih besar dari 30, sehingga dianggap sebagai sampel besar. Selain itu, baik proporsi siswa Meksiko maupun siswa Spanyol tidak mendekati 0 atau 1. Akhirnya, meskipun pernyataan tersebut tidak menentukannya, kita dapat mengasumsikan bahwa kedua sampel tidak bergantung satu sama lain.

Dengan kondisi tersebut, kita dapat mengatakan bahwa baik proporsi sampel dari kedua populasi maupun selisih proporsi sampel akan mengikuti distribusi normal. Oleh karena itu, kita dapat menggunakan persamaan sebelumnya untuk menentukan interval kepercayaan, yaitu:

Perhatikan bahwa untuk menetapkan selang kepercayaan, kita membutuhkan nilai Z untuk setengah dari tingkat signifikansi yang diberikan, yang dalam hal ini adalah α = 0,05. Artinya, kita harus menemukan Z _α/2 = Z _0,05/2 = Z _0,025 . Nilai ini dapat ditemukan di tabel distribusi normal standar, menggunakan aplikasi statistik seluler atau menggunakan spreadsheet seperti Excel untuk Windows atau Numbers untuk MacOS.

Dalam hal ini, Z _0,025 = 1,959964. Jadi, selang kepercayaannya adalah:

Seperti yang dapat kita lihat, interval kepercayaan yang dihitung dengan cara ini mengandung nol, oleh karena itu disimpulkan, dengan tingkat kepercayaan 95%, bahwa tidak ada perbedaan yang signifikan antara proporsi siswa Meksiko dan Spanyol yang menguasai konsep interval. .dipercaya.

Referensi

Cetinkaya-Rundel, M. (2012, 13 Maret). Kuliah 14: Inferensi sampel besar dan kecil untuk proporsi . Departemen Ilmu Statistik di Universitas Duke. https://www2.stat.duke.edu/courses/Spring12/sta101.1/lec/lec14S.pdf

del Rio, AQ (2019, 1 September). 7.8 Interval kepercayaan untuk selisih perbandingan. | Statistik Dasar yang Dipermanis . Buku Bawah. https://bookdown.org/aquintela/EBE/confidence-interval-for-the-difference-of-proportions-.html

Holmes, A., Illowsky, B., & Dean, S. (2017, 29 November). 10.4 Membandingkan Dua Proporsi Penduduk Independen – Pengantar Statistik Bisnis . OpenStax. https://openstax.org/books/introductory-business-statistics/pages/10-4-comparing-two-independent-population-proportions

Icedo Félix, M. (2020, 7 Mei). RPubs – Interval kepercayaan untuk selisih dua proporsi populasi . RPub. https://rpubs.com/Melanie_Icedo/Asignacion-6_Intervalo-confianza-proporsi-poblacional

Ahli statistik. (td). Interval kepercayaan untuk perbedaan proporsi . https://statologos.com/diferencia-de-intervalo-de-fianza-en-proportiones/