Tabla de Contenidos
Saat melakukan berbagai jenis perhitungan, baik dalam sains atau teknik, sangat umum untuk menggunakan data eksperimen yang kami temukan tersusun dalam tabel yang berbeda. Data ini biasanya menghubungkan dua variabel yang kita tahu saling bergantung satu sama lain, tetapi ketergantungan matematisnya tidak kita ketahui. Ini tidak akan menjadi masalah jika semua data yang kita butuhkan ada di tabel, tetapi ini jarang terjadi. Lebih umum kita membutuhkan nilai salah satu variabel untuk nilai variabel lain yang tidak ditemukan dalam tabel.
Ketika ini terjadi, kita dapat menyesuaikan data eksperimen atau tabulasi ke fungsi matematika polinomial, yang kemudian dapat kita gunakan untuk mendekati nilai variabel yang tidak diketahui. Proses ini mungkin melibatkan interpolasi atau ekstrapolasi.
Kedua proses ini terkait erat dan didasarkan pada prosedur penyetelan dasar yang sama, tetapi keduanya tidak sama. Selanjutnya, kita akan membahas apa perbedaan utama antara kedua metode pendugaan nilai variabel dependen ini untuk nilai variabel independen tertentu.
definisi interpolasi
Interpolasi adalah proses memperkirakan nilai variabel dependen untuk nilai tertentu dari variabel independen dari pengetahuan tentang sekumpulan data atau titik diskrit di atas dan di bawah titik yang ingin kita perkirakan. Dengan kata lain, ini adalah proses memperkirakan suatu titik yang terletak di antara dua titik yang diketahui. Grafik berikut menunjukkan rangkaian data yang diwakili oleh titik biru dan titik merah mewakili interpolasi antara titik di X 1 dan X 2 .
Kata interpolasi berasal dari gabungan dua kata Latin yaitu awalan inter-, yang berarti di antara atau pada interval, dan -polire , yang berarti mendorong atau mendorong, mengacu pada fakta bahwa interpolasi berkaitan dengan mendorong atau memindahkan dua data ke titik yang terletak di antara mereka.
Definisi Ekstrapolasi
Ekstrapolasi dapat dipahami sebagai proses memperkirakan nilai variabel dependen untuk nilai variabel independen, dari sekumpulan titik atau data yang semuanya lebih besar atau lebih kecil dari titik yang akan diestimasi.
Dengan kata lain, ini adalah proses memperkirakan nilai suatu titik yang berada di atas atau di bawah semua titik atau data yang diketahui. Gambar berikut menunjukkan contoh mengekstrapolasi data ke titik di atas semua data yang diketahui.
Dari segi etimologis, ekstrapolasi memiliki akar bahasa Latin yang sama –polire , hanya saja kali ini diawali dengan awalan bahasa Latin extra- yang artinya keluar. Dengan demikian, istilah tersebut mengacu pada perkiraan titik-titik yang berada di luar jangkauan kumpulan data asli, baik karena lebih besar atau lebih kecil dari semua data yang diketahui.
Perbedaan ketidakpastian interpolasi dan ekstrapolasi
Saat membandingkan interpolasi dengan ekstrapolasi, dapat diamati bahwa ada perbedaan penting mengenai risiko menghasilkan hasil yang sangat menyimpang dari nilai sebenarnya dari data yang kita cari. Dalam kasus interpolasi, karena dilakukan di antara dua titik berurutan, kita dapat memiliki tingkat kepastian tertentu bahwa nilai yang kita interpolasi berada di antara dua titik ini. Artinya, kami memiliki jaminan bahwa nilai fungsi yang tidak diketahui tidak naik atau turun sebelum mencapai titik berikutnya, karena kami tahu di mana titik berikutnya.
Alih-alih, saat kita melakukan ekstrapolasi, kita memproyeksikan perilaku data maju atau mundur, dan karena tidak ada titik referensi di depan (atau lebih jauh ke belakang, jika memang demikian), maka kita tidak memiliki cara untuk mengetahui bagaimana perilakunya. benar-benar variabel. Itu mungkin berlanjut dengan perilaku yang sama seperti sebelumnya, seperti mungkin tiba-tiba menembak ke kedua arah. Untuk alasan ini, ekstrapolasi membawa ketidakpastian yang lebih besar daripada interpolasi.
Mereka biasanya dipasang ke fungsi polinomial yang berbeda
Proses ekstrapolasi dan interpolasi didasarkan pada penyesuaian dua atau lebih titik yang diketahui ke fungsi matematika yang akan memungkinkan kita memprediksi nilai fungsi di titik lain yang tidak diketahui. Baik dalam kasus interpolasi maupun ekstrapolasi, fungsi yang paling umum digunakan untuk estimasi adalah fungsi linier (y = mx +b). Meskipun fungsi ini cocok untuk interpolasi dan ekstrapolasi ketika nilai yang tidak diketahui yang ingin kita perkirakan cukup dekat dengan titik yang diketahui, hal ini tidak lagi menjadi masalah ketika mengekstrapolasi jauh dari ekstrem.
Faktanya, jika data secara keseluruhan tidak terlalu linier dalam perilakunya, ekstrapolasi dapat dengan cepat menyimpang dari nilai sebenarnya saat kita menjauh dari salah satu ekstrem. Inilah sebabnya mengapa ekstrapolasi biasanya membutuhkan lebih banyak perhatian dan penggunaan fungsi ekstrapolasi yang lebih kompleks atau memiliki orde lebih tinggi daripada yang digunakan untuk interpolasi.
Dalam kasus terakhir, interpolasi linier hampir selalu memadai, dengan asumsi bahwa data atau titik yang diketahui tidak terlalu berjauhan.
Mereka mungkin berbeda dalam jumlah item data yang diperlukan untuk estimasi
Perbedaan penting lainnya antara interpolasi dan ekstrapolasi adalah jumlah item data yang diperlukan untuk melakukan estimasi. Dalam interpolasi, hampir selalu diasumsikan bahwa nilai titik yang dicari terletak pada garis lurus yang menghubungkan dua titik terdekat. Dalam hal ini, mengetahui kedua poin ini sudah cukup untuk melakukan interpolasi. Dengan kata lain, pengaruh kesalahan estimasi kemiringan pada interpolasi jarang serius, karena titik estimasi hampir selalu terletak di antara dua titik yang diketahui.
Di sisi lain, dalam kasus ekstrapolasi, karena saat kita bergerak lebih jauh dari titik tertinggi (atau terendah), perbedaan kemiringan garis memiliki dampak yang meningkat pada nilai y, sangat berisiko untuk mengambil hanya dua poin untuk menghitung kemiringan. Dalam kasus ini, yang biasanya dilakukan adalah menyesuaikan beberapa titik ke garis terbaik atau ke fungsi polinomial lain dengan orde lebih tinggi melalui proses kuadrat terkecil, sehingga memastikan bahwa garis yang kita ekstrapolasikan ke depan (atau ke belakang) mencerminkan perilaku umum dari data secara keseluruhan dan bukan hanya beberapa dari mereka.
Linear interpolasi dan ekstrapolasi
Dalam kasus interpolasi linier dan ekstrapolasi linier, pada dasarnya persamaan matematika yang sama digunakan. Dalam kedua kasus, fungsi interpolasi memiliki bentuk y = mx + b, di mana y adalah nilai yang kita cari untuk nilai x tertentu, m adalah kemiringan garis lurus tempat kita memasukkan data, dan b adalah potongan dengan sumbu y dari fungsi interpolasi.
Kemiringan fungsi linier dapat dihitung dari dua titik menggunakan rumus:
Kita dapat menerapkan rumus ini dua kali, sekali di antara dua titik mana pun dari rangkaian data yang diketahui, dan satu lagi di antara titik yang diketahui dan titik yang ingin kita temukan. Karena dalam kedua kasus kemiringannya sama, kita dapat mencocokkan kedua ekspresi tersebut dan dengan demikian memperoleh rumus yang menghubungkan nilai y yang kita cari dengan nilai x tertentu yang kita miliki.
Contoh
Misalkan kita ingin menggunakan dua titik berurutan p k-1 =(x k-1 ; y k-1 ) dan p k =(x k ; y k ) untuk menginterpolasi atau mengekstrapolasi setiap titik (x ; y). Kami kemudian dapat menulis kemiringan dua kali dan menyamakan untuk mendapatkan:
Mengatur ulang persamaan ini, kita mendapatkan:
Perhatikan bahwa, dalam kasus ini, tidak ada yang diasumsikan tentang posisi titik (x ; y) dalam kaitannya dengan dua data yang digunakan untuk estimasi, sehingga persamaan yang sama digunakan untuk interpolasi dan ekstrapolasi.
Jika diverifikasi bahwa x k-1 < x < x k , atau, dengan kata lain, bahwa x terletak di antara x k-1 dan x k , maka itu adalah interpolasi. Di sisi lain, jika x>x max atau x<x min , yaitu jika x lebih besar dari nilai maksimum atau lebih kecil dari nilai minimum seri data, maka ini merupakan ekstrapolasi.
contoh interpolasi
Misalkan kita tahu bahwa permintaan pizza di kota Mérida Venezuela adalah 500.000 unit per tahun ketika harga rata-rata per unit adalah $20, sedangkan pada harga rata-rata $15 permintaan meningkat menjadi 750.000. Kami tertarik untuk memperkirakan berapa permintaan jika kami menetapkan harga $16,5.
Larutan
Perhatikan bahwa ini adalah contoh interpolasi, karena titik yang ingin kita perkirakan, sesuai dengan harga $16,5, terletak di antara dua titik yang diketahui (yaitu antara $15 dan $20). Untuk contoh ini, kami memiliki:
Sekarang, terapkan rumus interpolasi linier:
Jadi, jika harga rata-rata pizza ditetapkan sebesar $16,5 per unit, permintaan tahunan akan menjadi 675.000 pizza per tahun.
Contoh ekstrapolasi
Misalkan dalam contoh yang sama di atas kita ingin menentukan berapa permintaan jika harga dinaikkan menjadi $25 per unit. Karena dalam kasus ini terbukti bahwa x = $25 > $20, maka ini merupakan ekstrapolasi. Sekali lagi, datanya adalah:
Mengganti:
Oleh karena itu, ekstrapolasi memprediksi bahwa jika harga naik menjadi $25, permintaan berkurang menjadi setengah dari harga $20.
Referensi
Alonso. (2006, 13 Februari). 3 Metode interpolasi dari poin . Universitas Madrid. https://www.um.es/geograf/sigmur/temariohtml/node43_mn.html
Gonza, D. (2016, September). Satuan: interpolasi dan ekstrapolasi data . doloresgonza.files. https://doloresgonza.files.wordpress.com/2016/09/interpolacion-1.pdf
LesKanaris. (td). Perbedaan ekstrapolasi dan interpolasi – Menarik – 2022 . https://us.leskanaris.com/3668-the-difference-between-extrapolation-and-interpolation.html
Pinzón, J. (2013, 9 Oktober). Interpolasi dan Ekstrapolasi . julianapinzon. https://julianapinzon.wordpress.com/interpolacion-y-extrapolacion/
UNIGAL. (2021, 14 September). Rumus Interpolasi Linier, Pengertian, Contoh, dan Lainnya . https://unigal.mx/formula-de-interpolacion-lineal-definicion-ejemplos-y-mas/
