Tabla de Contenidos
Faktorial dari bilangan bulat positif adalah produk dari semua bilangan bulat yang kurang dari atau sama dengannya, dan dilambangkan dengan simbol !. Misalnya, faktorial dari angka 4 dinyatakan sebagai 4! dan sama dengan 24:
4! = 1 x 2 x 3 x 4 = 24
Secara khusus, faktorial dari angka 0, (yaitu, 0!), didefinisikan sama dengan 1, meskipun nilai ini tidak muncul dari definisi faktorial, yang hanya berlaku untuk bilangan bulat yang lebih besar dari atau sama dengan 1. Mengapa Mengapa faktorial dari angka 0 didefinisikan sebagai 1 jika ada aturan matematika yang mengatakan bahwa setiap angka dikalikan dengan nol sama dengan nol?
Di luar kebingungan yang mungkin ditimbulkan oleh situasi ini, perlu dicatat bahwa nilai faktorial dari angka 0 adalah definisi ; yaitu, secara matematis didefinisikan bahwa 0! = 1. Mari kita lihat di bawah dasar-dasar definisi ini.
Definisi faktorial dari angka 0
Seperti yang telah kami sebutkan, hal pertama yang perlu diperhatikan adalah bahwa penugasan nilai 1 ke faktorial angka 0 (0! = 1) adalah sebuah definisi, walaupun pada prinsipnya hal ini tidak memberikan penjelasan yang memuaskan jika kita hanya melihat pada definisi faktorial.
Ingatlah bahwa definisi faktorial dari bilangan bulat positif adalah produk dari semua bilangan bulat yang sama dengan atau kurang dari itu. Perhatikan bahwa definisi ini juga menyiratkan bahwa faktorial dikaitkan dengan semua kemungkinan kombinasi angka yang kurang dari atau sama dengan angka yang sedang kita pertimbangkan.
Angka 0 tidak memiliki bilangan bulat positif yang kurang dari itu tetapi tetap merupakan angka dan hanya ada satu kemungkinan kombinasi dari rangkaian angka tertentu ini yang hanya terdiri dari angka 0. Kombinasi itu adalah satu, seperti halnya angka 1.
Untuk lebih memahami arti matematis dari definisi ini, harus diperhatikan bahwa konsep faktorial juga melibatkan informasi lain yang terkandung dalam suatu bilangan, khususnya kemungkinan permutasi faktor-faktornya. Bahkan dalam himpunan kosong yang diwakili oleh angka 0 dapat dipikirkan bahwa ada cara untuk mengurutkan himpunan ini.
Permutasi dan faktorial
Konsep faktorial digunakan dalam cabang matematika yang disebut kombinatorik, suatu disiplin di mana konsep permutasi elemen didefinisikan. Permutasi adalah urutan spesifik dan unik dari elemen-elemen yang membentuk suatu himpunan tertentu. Misalnya, ada enam kemungkinan permutasi dari himpunan {1, 2, 3}, yang mengandung tiga elemen, karena kita dapat menulis elemen-elemen ini dengan enam cara berikut:
- 1, 2, 3
- 1, 3, 2
- 2, 3, 1
- 2, 1, 3
- 3, 2, 1
- 3, 1, 2
Kita juga dapat mengungkapkan konsep ini melalui ekspresi faktorial dari tiga, 3! = 6, yang memungkinkan kita menghitung set lengkap permutasi dari grup yang terdiri dari 3 elemen. Demikian pula, ada 24 permutasi (4!=24) dari himpunan dengan empat elemen dan 120 kemungkinan permutasi (5!=120) dari himpunan dengan lima elemen. Jadi, cara berpikir alternatif tentang konsep faktorial adalah dengan mengesampingkan gagasan bahwa ia terkait dengan bilangan asli n dan berpikir bahwa n ! adalah banyaknya permutasi suatu himpunan yang terdiri dari n anggota.
Mari kita lihat beberapa contoh dengan mempertimbangkan konsep baru tentang faktorial suatu bilangan. Himpunan yang terdiri dari dua elemen memiliki dua kemungkinan permutasi: {a,b} dapat diurutkan sebagai (a,b) atau sebagai (b,a). Hal ini terkait dengan definisi faktorial dari angka 2; 2! = 2. Himpunan yang terdiri dari satu elemen, {a}, hanya memiliki satu kemungkinan permutasi, dan dikaitkan dengan definisi faktorial dari angka 1; 1! = 1.
Sekarang mari kita kembali ke kasus faktorial dari 0. Himpunan yang diintegrasikan oleh elemen nol disebut himpunan kosong. Untuk mencari nilai faktorial dari 0 kita dapat bertanya pada diri sendiri, dengan berapa cara kita dapat mengurutkan suatu himpunan tanpa unsur? Dan sementara satu jawaban mungkin tidak ada yang dipesan dalam set kosong, kami juga memiliki alternatif yang bahkan kosong adalah set, jadi jawabannya bisa 1, jadi 0! = 1.
Aplikasi lain dari faktorial
Seperti yang telah kami katakan, konsep faktorial digunakan dalam kombinatorik dan alat matematika ini digunakan untuk melakukan perhitungan dalam rumus yang menyatakan permutasi dan kombinasi kelompok elemen. Meskipun aplikasi ini tidak memberikan pembenaran langsung untuk penugasan 1 ke faktorial angka 0, dapat dipahami mengapa didefinisikan dengan cara ini.
Konsep kombinasi sekelompok elemen mengacu pada jumlah subkelompok yang dapat diperoleh dengannya, terlepas dari urutan pertimbangannya. Misalnya, himpunan {1, 2, 3} hanya memiliki satu gabungan jika diambil tiga elemen, terlepas dari urutannya. Tetapi jika kita mengambilnya dengan dua elemen, kita akan memiliki tiga kemungkinan kombinasi, {1, 3}, {2, 3} dan {1, 2}, sama seperti jika kita mengambilnya dengan satu elemen, {1}, {2} dan {3}. Rumus umum untuk menghitung jumlah kombinasi tanpa pengulangan dari himpunan n elemen tertentu yang diambil dalam subgrup elemen p adalah C ( n , p ) = n !/ p !( n–p ) !.
Jika kita menggunakan rumus ini untuk menentukan jumlah kombinasi dari tiga elemen diambil tiga, kita melihat bahwa hasilnya pasti 1, dinyatakan dengan C (3, 3) = 3! / 3! (3-3)! = 3! / 3! 0!, jadi perlu untuk mendefinisikan 0! = 1 agar ekspresi matematika masuk akal.
Dengan cara yang sama, ada situasi lain yang mengharuskan untuk mendefinisikan faktorial dari angka 0 sebagai 1, 0! = 1, sebagai bagian dari konsepsi umum dalam pengembangan matematika yang menunjukkan bahwa ketika ide-ide baru dibangun dan definisi-definisi baru digabungkan harus ada kesesuaian dengan struktur yang sudah ada sebelumnya.
Bibliografi
Nol faktorial atau 0!. Akademi Khan .
Apakah ada faktorial dari 0? Saluran YouTube Melayang .
