Tabla de Contenidos
Deviasi standar populasi adalah salah satu parameter populasi yang paling penting untuk mengukur variabilitas atau penyebaran data dalam populasi. Seperti parameter apa pun dalam statistik, ini diwakili oleh huruf Yunani, dalam hal ini huruf σ (sigma). Hal ini memungkinkan untuk dengan mudah dibedakan dari standar deviasi sampel yang, meskipun serupa, tidak sama dan tidak dihitung dengan rumus yang sama.
Selanjutnya, kita akan melihat, melalui sebuah contoh, berbagai cara untuk menghitung standar deviasi suatu populasi. Perlu dicatat bahwa untuk menghitung standar deviasi populasi , penting untuk mengetahui semua data populasi. Hal ini jarang terjadi dalam konteks nyata, tetapi tetap penting untuk memahami cara menghitungnya, karena membantu memahami beberapa karakteristik matematis dari parameter penting ini.
Formula Deviasi Standar Populasi
Bergantung pada data yang tersedia, standar deviasi populasi dapat ditentukan dengan menggunakan tiga rumus berbeda.
Definisi matematis dari standar deviasi populasi
Deviasi standar didefinisikan sebagai akar kuadrat dari varians, σ 2 . Artinya, jika kita mengetahui varian populasi, kita dapat menghitung standar deviasi menggunakan persamaan berikut:
Kasus ini jarang terjadi, tapi ada baiknya untuk diingat.
Rumus deviasi standar populasi lainnya
Jika alih-alih mengetahui varians suatu populasi, kita mengetahui semua N item data yang menyusunnya, maka kita dapat menghitung deviasi standar populasi sebagai akar kuadrat dari rata-rata deviasi kuadrat dari rata-rata. Artinya:
Dalam persamaan ini, xi mewakili nilai setiap item data dalam populasi, N mewakili jumlah item data dalam populasi (atau ukuran populasi, yang sama) dan μ adalah rata-rata populasi. Perhatikan bahwa rata-rata populasi juga diwakili oleh huruf Yunani karena itu adalah parameter populasi lainnya dan ukuran populasi diwakili oleh N (huruf besar) untuk membedakannya dari n yang biasanya dikaitkan dengan ukuran sampel.
Rata-rata populasi, μ, diberikan oleh:
Persamaan 2 dapat diperluas, disusun ulang, dan disederhanakan untuk mendapatkan:
Jika tidak memiliki data individu dari populasi tetapi data dikelompokkan dalam tabel frekuensi, rumus sebelumnya sedikit dimodifikasi untuk memberikan:
Dalam persamaan di atas, besaran yang terletak di dalam akar tidak lebih dari varians populasi. Persamaan 4 memiliki keunggulan yang ditetapkan secara eksklusif dalam hal data populasi dan bukan dari beberapa parameter populasi seperti dalam kasus persamaan 2 dan 5.
Contoh perhitungan standar deviasi populasi
Misalkan kita ingin menentukan variabilitas bobot model mobil tertentu yang hanya 20 contoh yang diketahui ada di seluruh dunia. Data bobot dalam kilogram dari 20 mobil tersebut disajikan pada tabel berikut:
| 410 | 408 | 408 | 405 | 391 | 390 | 402 | 397 | 397 | 395 |
| 390 | 404 | 397 | 394 | 399 | 397 | 405 | 408 | 410 | 400 |
Karena kita tahu bahwa hanya ada 20 mobil dari model ini, ini mewakili seluruh populasi, jadi kita memiliki semua data yang diperlukan untuk menentukan standar deviasi populasi. Mari kita lihat tiga cara berbeda untuk menentukan standar deviasi ini.
Metode 1: Perhitungan berdasarkan definisi varians
Metode ini didasarkan pada penggunaan persamaan 2 yang disajikan di atas. Seperti yang bisa kita lihat, persamaan membutuhkan penggunaan rata-rata populasi dan serangkaian perhitungan lain yang dirinci di bawah ini:
Langkah 1: Tentukan rata-rata populasi
Rata-rata populasi atau μ dihitung dengan menggunakan persamaan 3, menjumlahkan semua data dan membaginya dengan jumlah total data, dalam hal ini adalah 20.
Langkah 2: Hitung penyimpangan dari rata-rata
Langkah ini melibatkan penghitungan pengurangan (xi – μ). Misalnya:
x 1 – μ = 410 – 400,35kg = 9,65kg
x 2 – μ = 408 – 400,35kg = 7,65kg
x 3 – μ = 408 – 400,35kg = 7,65kg
…
X 20 – μ = 400kg – 400,35kg = – 0,35
Hasilnya disajikan dalam tabel berikut:
| x saya | x i – μ |
| 410 | 9.65 |
| 408 | 7.65 |
| 408 | 7.65 |
| 405 | 4.65 |
| 391 | -9.35 |
| 390 | -10.35 |
| 402 | 1.65 |
| 397 | -3,35 |
| 397 | -3,35 |
| 395 | -5.35 |
| 390 | -10.35 |
| 404 | 3.65 |
| 397 | -3,35 |
| 394 | -6.35 |
| 399 | -1,35 |
| 397 | -3,35 |
| 405 | 4.65 |
| 408 | 7.65 |
| 410 | 9.65 |
| 400 | -0,35 |
Langkah 3: Kuadratkan semua penyimpangan dari rata-rata
(x 1 – μ) 2 = (9,65) 2 = 93,1225 kg 2
(x 2 – μ) 2 = (7,65) 2 = 58,5225 kg 2
(x 3 – μ) 2 = (7,65) 2 = 58,5225 kg 2
…
(x 20 – μ) 2 = (– 0,35) 2 = 0,1225 kg 2
Hasilnya disajikan dalam tabel berikut:
| x i / kg | (xi – μ)/ kg | (xi – μ ) 2 / kg 2 |
| 410 | 9.65 | 93.1225 |
| 408 | 7.65 | 58.5225 |
| 408 | 7.65 | 58.5225 |
| 405 | 4.65 | 21.6225 |
| 391 | -9.35 | 87.4225 |
| 390 | -10.35 | 107.1225 |
| 402 | 1.65 | 2.7225 |
| 397 | -3,35 | 11.2225 |
| 397 | -3,35 | 11.2225 |
| 395 | -5.35 | 28.6225 |
| 390 | -10.35 | 107.1225 |
| 404 | 3.65 | 13.3225 |
| 397 | -3,35 | 11.2225 |
| 394 | -6.35 | 40.3225 |
| 399 | -1,35 | 1,8225 |
| 397 | -3,35 | 11.2225 |
| 405 | 4.65 | 21.6225 |
| 408 | 7.65 | 58.5225 |
| 410 | 9.65 | 93.1225 |
| 400 | -0,35 | 0,1225 |
Langkah 4: Jumlahkan semua simpangan kuadrat
Langkah 5: Terapkan rumus persamaan 2
Sekarang kita memiliki jumlah ini, yang tersisa hanyalah mengganti nilai ini, serta jumlah data, yaitu 20, dalam persamaan 2:
Jadi, kami memperoleh bahwa standar deviasi dari berat populasi 20 mobil adalah kira-kira. 6.5kg.
Metode 2: Menggunakan persamaan yang disusun ulang
Sekarang kita akan melakukan perhitungan yang sama, tetapi menggunakan persamaan 4, yang setara dengan persamaan yang baru saja kita gunakan, tetapi lebih praktis, terutama jika Anda bekerja dengan jumlah data yang lebih banyak. Manfaat utamanya adalah tidak perlu menghitung parameter tambahan (rata-rata populasi) untuk dapat menghitung penyimpangan, tetapi semuanya dihitung berdasarkan data individu asli. Juga, Anda tidak perlu bekerja dengan bilangan negatif, yang merupakan sumber kesalahan utama di kalangan siswa.
Langkah 1: Hitung kuadrat dari setiap data individu
Artinya, perhitungan berikut dilakukan:
(x 1 ) 2 = (410) 2 = 168.100 kg 2
(x 2 ) 2 = (408) 2 = 166,464 kg 2
(x 3 ) 2 = (408) 2 = 166,464 kg 2
…
(x 20 ) 2 = (400) 2 = 160.000 kg 2
Hasilnya disajikan dalam tabel berikut:
| x saya | x saya 2 |
| 410 | 168.100 |
| 408 | 166.464 |
| 408 | 166.464 |
| 405 | 164.025 |
| 391 | 152.881 |
| 390 | 152.100 |
| 402 | 161.604 |
| 397 | 157.609 |
| 397 | 157.609 |
| 395 | 156.025 |
| 390 | 152.100 |
| 404 | 163.216 |
| 397 | 157.609 |
| 394 | 155.236 |
| 399 | 159.201 |
| 397 | 157.609 |
| 405 | 164.025 |
| 408 | 166.464 |
| 410 | 168.100 |
| 400 | 160.000 |
Langkah 2: Tambahkan semua data individual
Langkah 3: Tambahkan semua kotak
Langkah 4: Terapkan rumus persamaan 4
Langkah terakhir adalah memperkenalkan kedua nilai ini dan jumlah data dalam persamaan 4 untuk mendapatkan standar deviasi populasi:
Metode 3: Menggunakan spreadsheet
Spreadsheet seperti Microsoft Excel, Apple Numbers, atau Google Sheets menyertakan di antara fungsi dasarnya perhitungan langsung standar deviasi (baik sampel maupun populasi). Fungsi-fungsi ini mengambil kumpulan data sebagai argumen dan melakukan semua perhitungan yang ditunjukkan pada metode sebelumnya untuk mengembalikan standar deviasi secara langsung di sel tempat rumus dimasukkan.
Prosedurnya adalah sebagai berikut:
Langkah 1: Masukkan data ke dalam spreadsheet
Kita dapat memasukkan data dalam bentuk kolom, baris, atau matriks di mana saja di spreadsheet. Tangkapan layar berikut menunjukkan seperti apa data untuk masalah ini di Excel 2016.
Langkah 2: Gunakan rumus untuk menghitung standar deviasi
Setelah data ditambahkan, kami menggunakan fungsi standar deviasi, menempatkan sel tempat data ditemukan sebagai argumen.
Untuk memanggil suatu fungsi dalam spreadsheet, biasanya kita mulai dengan mengetikkan tanda sama dengan (=) diikuti dengan nama fungsi yang ingin kita gunakan. Namanya sedikit berubah dari satu aplikasi ke aplikasi lainnya dan dalam beberapa kasus juga berubah tergantung pada bahasa tempat Anda bekerja.
Dalam kasus Excel (versi Spanyol), fungsi untuk menghitung deviasi standar populasi disebut STDEV.P, sedangkan di Google Sheets disebut STDEVP (tanpa titik). Kemudian Anda harus memasukkan argumen fungsi di antara tanda kurung. Dalam contoh kami, kami meneruskan sebagai argumen rentang sel tempat data berada (mulai dari sel A3 hingga J4).
Dengan menekan ENTER, program menjalankan fungsi dan menghitung standar deviasi populasi, menampilkan hasilnya di sel masing-masing, seperti yang ditunjukkan di bawah ini:
Seperti yang bisa kita lihat, salah satu dari tiga metode yang dipraktikkan di sini menghasilkan hasil yang sama. Itu hanya cara berbeda untuk melakukan hal yang sama.
metode lain
Selain ketiga metode di atas, kalkulator ilmiah dan keuangan juga sering berfungsi untuk menentukan standar deviasi suatu kumpulan data, baik itu sampel maupun populasi. Cara memasukkan data dan hasil yang diperoleh bervariasi dari pabrikan ke pabrikan, dan bahkan dari satu model kalkulator ke model kalkulator lainnya, sehingga tidak praktis untuk menunjukkan langkah spesifik untuk melakukannya di sini.
Sebagai gantinya, kami akan membahas langkah-langkah umum yang paling penting tanpa mempelajarinya. Siapa pun yang ingin menggunakan fungsi ini pada kalkulator ilmiahnya harus mengacu pada panduan pengguna yang disertakan dengan kalkulator atau mencarinya secara daring untuk menentukan kombinasi tombol tertentu dalam setiap kasus.
Langkah 1: Hapus memori
Di banyak kalkulator, data yang disimpan sebelumnya tidak terlihat. Jika kita memasukkan data tentang orang lain yang sudah tersimpan tanpa disadari, kalkulator akan memberikan hasil yang salah. Untuk memastikan hal ini tidak terjadi, disarankan untuk mengosongkan semua memori kalkulator (atau setidaknya mode analisis statistik) sebelum mulai memasukkan data baru.
Langkah 2: Akses mode statistik
Fungsi untuk menghitung deviasi standar adalah bagian dari mode “Statistics,” “Statistics” atau hanya “S” pada kebanyakan kalkulator, jadi kita harus mulai dengan memasuki mode operasi ini.
Langkah 3: Masukkan data
Ini bervariasi dari satu kalkulator ke yang lain. Dalam beberapa kasus, data dapat ditambahkan dalam bentuk tabel, sedangkan dalam kasus lain data dimasukkan satu per satu setelah menekan tombol DT (atau DAT). Penting untuk memeriksa jumlah data yang dimasukkan pada akhir langkah ini untuk memastikan tidak ada data yang hilang.
Langkah 4: Hitung standar deviasi populasi
Setelah data dimasukkan, yang tersisa hanyalah meminta kalkulator untuk hasil yang kita cari. Pada banyak kalkulator, deviasi standar sampel dan populasi diwakili oleh simbol σ (meskipun ini merupakan kesalahan dalam kasus deviasi sampel). Namun, kita dapat membedakan deviasi sampel dari deviasi populasi karena deviasi sampel disertai dengan n-1 (yaitu, muncul sebagai σ n-1 ) sedangkan deviasi populasi muncul sebagai s n . Ini mengacu pada fakta bahwa dalam perhitungan standar deviasi sampel dibagi dengan n-1, bukan n seperti pada populasi.
Referensi
Devore, JL (2019). Probabilitas dan Statistik ( Edisi ke-1 ). Belajar Cengage.
MateMobile. (2021, 1 Januari). Varians dan standar deviasi untuk data binned | matermobile . https://matemovil.com/varianza-y-desviacion-estandar-para-datos-agrupados-por-intervalos/
dukungan teknis Google. (td). STDEV (STDEV) – Bantuan Editor Google Dokumen . Google – Bantuan Editor Google Dokumen. https://support.google.com/docs/answer/3094054?hl=id-419
Superprof. (td). Simpangan baku . Kamus Matematika | Superprof. https://www.superprof.es/diccionario/matematicas/estadistica/desviacion-estandar.html
TOMi.digital. (td). Deviasi Standar untuk data yang dikelompokkan . https://tomi.digital/en/52202/standard-deviation-for-grouped-data?utm_source=google&utm_medium=seo
