Apa itu rata-rata dalam matematika?

Dalam matematika, rata-rata, disebut juga rata-rata, adalah angka yang merangkum nilai dari sekumpulan angka atau data dalam satu . Ini dikenal sebagai ukuran tendensi sentral karena mewakili, dalam beberapa cara, nilai yang ada di tengah kumpulan data.

Untuk apa rata-ratanya?

Rata-rata sangat membantu, karena memungkinkan kita untuk melihat secara garis besar perilaku sejumlah besar data tanpa tersesat dalam detail masing-masing nilai individual. Menggunakan analogi, menghitung rata-rata memungkinkan kita untuk melihat hutan secara keseluruhan, alih-alih berfokus pada pepohonan.

Misalnya, kita dapat memiliki tabel yang berisi nilai tinggi badan 100 siswa dari kelas yang sama di suatu lembaga pendidikan. Kemungkinan besar, tidak satu pun dari orang-orang ini yang tingginya persis sama, sehingga sebagian besar nilai dalam tabel akan berbeda.

Apa yang akan terjadi jika seseorang bertanya kepada kami berapa tinggi siswa di kelas itu di kampus itu? Tidaklah tepat untuk memberikan ketinggian salah satu dari mereka sebagai jawaban. Di sinilah rata-rata mulai membantu. Alih-alih melaporkan 100 ketinggian berbeda, rata-rata memungkinkan Anda meringkas semua informasi itu dalam satu angka. Jadi, kita dapat mengatakan bahwa tinggi rata-rata siswa di kampus adalah 1,67 m (jika demikian).

Ini tidak berarti bahwa tidak semua siswa mengukur 1,67, atau bahkan tidak ada dari mereka yang memiliki tinggi badan ini. Sederhananya, angka yang paling mewakili tinggi badan siswa kelas tersebut di kampus tersebut adalah 1,67 m.

Kehilangan informasi dengan perhitungan rata-rata

Jelas, dengan meringkas data menjadi rata-rata, Anda kehilangan banyak informasi. Informasi dikorbankan untuk kejelasan. Perhitungan rata-rata adalah bagian dari apa yang dikenal sebagai statistik deskriptif, yang tidak lebih dari seperangkat teknik dan perhitungan yang memungkinkan perilaku atau karakteristik kumpulan data yang besar untuk dijelaskan dengan beberapa angka.

Rata-rata itu sendiri biasanya tidak memberikan informasi yang cukup untuk banyak aplikasi yang kami berikan kepada mereka. Untuk memulihkan beberapa informasi yang hilang, rata-rata sering dilaporkan bersama dengan beberapa ukuran penyebaran data individual di sekitar rata-rata, seperti varians atau standar deviasi.

Jenis rata-rata dan rumusnya

Ada berbagai cara untuk menghitung rata-rata dari kumpulan data. Ini menimbulkan berbagai jenis rata-rata atau, lebih tepatnya, rata-rata.

• Rata-rata Aritmatika (X̅ atau AM)
• Mean Aritmatika Tertimbang (WAM)
• Rata-Rata Geometrik (GM)
• Rata-Rata Harmonik (HM)
• Kuadrat Rata-Rata Akar (RMS)

Rata-rata aritmatika (X̅ atau AM)

Rata-rata aritmatika, atau AM, adalah bentuk rata-rata yang paling umum digunakan dalam kehidupan sehari-hari. Ini adalah jumlah sederhana dari elemen yang akan dirata-ratakan, dibagi dengan jumlah total elemen atau data.

Rata-rata aritmatika diwakili dalam banyak konteks matematika dengan simbol yang mewakili variabel yang dirata-ratakan dengan bilah di atasnya. Misalnya, rata-rata aritmatika dari variabel X direpresentasikan sebagai X̅ (X-bar). Itu juga terkadang diwakili oleh AM _X . Formulanya diberikan oleh:

Dalam persamaan ini, Xi menyatakan item data individual ke-i dan n adalah jumlah total item data yang dirata-ratakan _.

Rata-rata ini memiliki karakteristik bahwa ia berada di tengah semua data, sedemikian rupa sehingga jumlah simpangan semua data individual terhadap rata-rata selalu nol.

Rata-rata aritmatika sangat sensitif terhadap outlier atau data ekstrim. Artinya, ketika ada nilai dalam kumpulan data yang jauh lebih besar daripada sebagian besar data lainnya atau jauh lebih kecil, data ekstrem ini menarik rata-rata ke arahnya, menjauh dari sebagian besar data lainnya.

Mean Aritmatika Tertimbang (WAM atau W)

Rata-rata aritmatika memberikan kepentingan atau bobot yang sama untuk semua data yang dirata-ratakan. Namun, ini tidak selalu nyaman, karena beberapa data mungkin lebih penting daripada yang lain. Dalam kasus ini, rata-rata aritmatika tertimbang atau rata-rata tertimbang digunakan, yang biasanya diwakili oleh simbol W (dari bahasa Inggris ” rata-rata tertimbang” ).

Dalam rata-rata tertimbang, kepentingan relatif dari setiap item data dimasukkan ke dalam perhitungan dalam bentuk faktor pembobot tertentu ( wi ₎ untuk setiap item data ( Xi ₎ . Semakin besar kepentingan data, semakin besar faktor pembobotannya, sehingga meningkatkan pengaruhnya terhadap rata-rata akhir. Rumus untuk menghitung rata-rata tertimbang adalah:

Faktor pembobotan dapat dipilih secara sewenang-wenang, dan dalam beberapa kasus bahkan dapat dihitung dengan menggunakan fungsi pembobotan yang sesuai, jika dianggap perlu.

Contoh situasi di mana rata-rata tertimbang lebih tepat daripada rata-rata sederhana diberikan dalam kasus penghitungan nilai rata-rata siswa. Rata-rata aritmatika atau rata-rata sederhana tidak cocok untuk kasus ini, karena ada mata pelajaran yang membutuhkan lebih banyak kerja dan dedikasi daripada yang lain, dan ada juga mata pelajaran yang lebih penting daripada yang lain untuk masa depan akademik siswa. Untuk alasan ini, mereka harus berkontribusi lebih banyak pada IPK daripada mata pelajaran yang kurang penting.

Dalam hal ini, jumlah satuan kredit mata pelajaran biasanya digunakan sebagai faktor pembobot.

rata-rata geometris (GM)

Dalam menghitung rata-rata geometris, alih-alih menjumlahkan data dan membaginya dengan jumlah data, n data individual dikalikan bersama dan akar ke-n dari perkalian bersama diambil.

Rata-rata ini memiliki sifat nol jika ada data yang dirata-ratakan adalah nol. Selain itu, jika jumlah item data genap, rata-rata geometrik tidak ditentukan untuk data negatif, oleh karena itu kegunaannya terbatas pada angka positif saja.

Jenis rata-rata ini sering digunakan saat menghitung rata-rata persentase.

Rata-Rata Harmonik (HM)

Mean harmonik, atau HM, adalah jenis rata-rata yang sering digunakan untuk jumlah rata-rata yang dihitung sebagai produk atau hasil bagi. Beberapa contoh penting adalah perhitungan kecepatan rata-rata perjalanan dengan jarak yang sama, rasio harga/pendapatan (PER) investasi di pasar saham, dll.

Rumus untuk menghitung rata-rata harmonik terdiri dari kebalikan dari rata-rata aritmatika dari kebalikan dari data individu. Dengan kata lain, itu diberikan oleh persamaan berikut:

Kuadrat Rata-Rata Akar (RMS)

Juga dikenal sebagai root mean square, RMS mewakili jenis rata-rata yang sesuai untuk data yang memiliki nilai positif dan negatif. Ini karena ini sesuai dengan akar kuadrat dari rata-rata aritmatika dari kuadrat data individu. Dengan mengkuadratkan setiap potongan data, hasil yang diperoleh akan selalu positif, sehingga pengaruh tanda ini terhadap perhitungan rata-rata dihilangkan.

RMS diberikan oleh:

Penerapan RMS yang paling umum adalah perhitungan tegangan efektif arus AC dengan gelombang sinusoidal. Dalam hal ini, yang terpenting adalah amplitudo rata-rata gelombang dan bukan nilai rata-rata tegangan, yang nol karena simetri sekitar 0 V.

Ukuran tendensi sentral lainnya: median dan modus

Selain berbagai cara yang telah kita lihat sebelumnya, ada juga ukuran tendensi sentral lainnya yang digunakan terutama dalam statistik. Ini adalah median dan modus.

Median (X̃)

Dalam sekumpulan data kuantitatif yang diurutkan dari terkecil ke terbesar, median mewakili data pusat, atau nilai variabel yang membagi rangkaian data menjadi dua bagian atau kumpulan dengan jumlah data yang sama. Dengan cara ini, penentuan median, yang diwakili dengan menempatkan tilde atau tilde di atas simbol variabel yang diinginkan (misalnya, ṽ dapat mewakili median dari serangkaian data kecepatan), bergantung pada jumlah total data tersedia.

Median tidak harus dihitung melainkan diidentifikasi dalam kumpulan data. Untuk mengidentifikasi median, hal pertama yang harus dilakukan adalah mengurutkan semua data dari yang terkecil ke yang terbesar dan kemudian menomori secara berurutan dari 1 dan seterusnya. Langkah selanjutnya tergantung pada apakah jumlah data (n) yang ada genap atau ganjil:

Jumlah data ganjil: Jika deret berisi data berjumlah ganjil, maka mediannya adalah data yang diidentifikasi dengan angka (n+1)/2. Misalnya, jika ada total 15 titik data, mediannya adalah titik data (15+1)2=8, karena ini menyisakan 7 titik data di bawah dan 7 titik data di atas median.

Jumlah data genap: Dalam hal ini tidak ada data pusat yang membagi deret menjadi dua bagian yang sama, sehingga median dihitung sebagai rata-rata aritmatika dari dua data pusat, yaitu data nomor n/2 dan data (n/2) +1. Misalnya, jika seri data berisi 24 item data, maka mediannya adalah rata-rata sederhana antara item data 2/2=12 dan item data (2/24)+1=13.

Median menawarkan keuntungan karena kurang peka terhadap nilai ekstrem daripada rata-rata. Namun, itu bukan ukuran tendensi sentral yang baik jika datanya miring.

Modus (Mo _X )

Modus hanyalah nilai atau kategori yang paling sering muncul dalam kumpulan data. Ini seperti nilai “terpanas” dalam rangkaian dan mewakili puncak tertinggi saat data direpresentasikan dalam bentuk histogram.

Contoh menghitung rata-rata yang berbeda

Misalkan kita memiliki rangkaian data berikut yang sesuai dengan tinggi badan 30 siswa di bagian matematika di sebuah sekolah di ibu kota. Semua ketinggian dalam meter.

Dari data tersebut tentukan a) rata-rata aritmatika; b) rata-rata geometris; c) rata-rata harmonik; d) RMS, dan e) median.

Larutan

Karena kita diminta untuk menentukan median, dan untuk ini kita perlu mengurutkan dan mengidentifikasi data, kita akan mulai dari sana, karena ini biasanya memfasilitasi perhitungan lain:

Sekarang, dengan menggunakan tabel ini, kita akan menghitung rata-rata yang diminta untuk dihitung. Dalam kedua kasus, ini hanyalah masalah menerapkan persamaan yang ditunjukkan di atas:

Rata-rata aritmatika

Rata-rata geometris

rata-rata harmonik

RMS

median

Karena jumlah datanya genap, mediannya adalah rata-rata aritmatika dari data 30/2=15 dan (30/2)+1=16, yaitu rata-rata antara 1,58 dan 1,59:

Referensi

Conthe, M. (2017, 21 Juli). Rata-rata aritmatika atau rata-rata geometris? Ekspansi. https://www.expansion.com/blogs/conthe/2017/07/21/un-calculo-poco-armonico.html

Nikmati Matematika. (2011). Definisi: Rata-rata . enjoythemathematics.com. https://www.disfrutalasmatematicas.com/definiciones/average.html

Larios, R. (2020, 9 September). Berapa rata-rata dalam matematika? Belajar di Rumah II . Serikat Jalisco. https://www.unionjalisco.mx/2020/09/09/que-es-el-promedio-en-matematicas-aprende-en-casa-ii/

López, JF (2021, 2 Februari). rata-rata geometris . Ekonomipedia. https://economipedia.com/definiciones/media-geometrica.html

Matematika, M. (2020, 25 Juni). rata-rata; Hitung; geometris dan Harmonik; properti; aplikasi . Matematika. https://matematicas.review/promedios-aritmetico-geometrico-y-armonico-propiedades-aplicaciones/

Pérez P., J., & Merino, M. (2011). Definisi rata-rata . Definisi dari. https://definicion.de/average/

Universitas Terbuka. (2020). Ilmu dasar: memahami angka . OpenLearn. Tersedia di https://www.open.edu/openlearn/science-maths-technology/basic-science-understanding-numbers/content-section-overview .