Tabla de Contenidos
Momen dalam perhitungan dalam statistik berkaitan dengan penentuan parameter seperti rata-rata, varians, atau kemiringan distribusi probabilitas. Istilah momen berasal dari fisika, dari perhitungan pusat gravitasi sekumpulan benda dengan massa berbeda.
definisi momen
Jika ada himpunan n data diskrit x 1 , x 2 , x 3 , … x n , momen orde s didefinisikan sebagai:
( x 1 s + x 2 s + x 3 s +…+ x n s )/ n
Urutan di mana perhitungan dilakukan adalah penting. Pertama Anda harus melakukan peninggian pangkat s , lalu lakukan penjumlahan dan terakhir pembagian dengan n .
Menerapkan definisi ini, kita memiliki momen orde pertama ketika s = 1 dan rumus sebelumnya berbentuk:
( x 1 + x 2 + x 3 +…+ x n )/ n
Ini adalah ekspresi dari rumus rata-rata dari sekumpulan nilai.
Jika himpunan yang kita analisis terdiri dari 4 bilangan 1, 3, 6, 10, momen orde pertama himpunan tersebut adalah:
(1 + 3 + 6 + 10)/4 = 5
Dalam contoh ini diamati bahwa momen orde pertama adalah rata-rata dari himpunan nilai yang dipelajari.
Momen urutan kedua sesuai dengan s = 2, dan definisinya menjadi sebagai berikut:
( x 1 2 + x 2 2 + x 3 2 +…+ x n 2 )/ n
Jika kita menerapkannya pada contoh sebelumnya, kita mendapatkan:
(1 2 + 3 2 + 6 2 + 10 2 )/4 = (1 + 9 + 36 + 100)/4 = 36,5
Demikian pula, momen urutan ketiga sesuai dengan s = 3 dan rumusnya berbentuk:
( x 1 3 + x 2 3 + x 3 3 +…+ x n 3 )/ n
Dan perhitungan dalam contoh yang kami anggap memiliki ekspresi:
(1 3 + 3 3 + 6 3 + 10 3 )/4 = (1 + 27 + 216 + 1000)/4 = 311
Momen rata-rata dari sekumpulan nilai
Aplikasi lain dari konsep momen adalah perhitungan rata-rata dari sekumpulan nilai. Artinya, untuk nilai-nilai yang diperoleh dari selisih setiap nilai suatu himpunan terhadap rata-rata. Untuk melakukan ini, pertama-tama Anda harus menghitung nilai rata-rata himpunan, kemudian menentukan variabel di mana momen akan dihitung sebagai selisih antara rata-rata dan setiap nilai himpunan, dan terakhir menerapkan rumus sebelumnya ke variabel baru ini.
Kemudian, jika m adalah rata-rata dari himpunan nilai x 1 , x 2 , x 3 , … x n , momen di sekitar rata-rata m s dari himpunan nilai akan berbentuk:
m s = [( x 1 – m ) s + ( x 2 – m ) s + ( x 3 – m ) s +…+ ( x n – m ) s ]/ n
Menurut perhitungan ini, momen orde pertama rata-rata adalah 0. Mari kita lihat bagaimana hasil ini diperoleh:
m 1 = [( x 1 – m )+ ( x 2 – m ) + ( x 3 – m ) +…+ ( x n – m )]/ n
m 1 = [ x 1 + x 2 + x 3 +…+ x n – n . m )]/ n
m 1 = [ x 1 + x 2 + x 3 +…+ x n ]/ n – [ n . m ]/ n
m 1 = m – m = 0
Momen urutan kedua rata-rata memiliki ekspresi berikut:
m 2 = [( x 1 – m ) 2 + ( x 2 – m ) 2 + ( x 3 – m ) 2 +…+ ( x n – m ) 2 ]/ n
Ini adalah rumus untuk varian dari sekumpulan nilai.
Jika kita menerapkan rumus ini ke contoh sebelumnya, kita mendapatkan bahwa rata-rata yang telah kita hitung adalah 5, sehingga rumusnya menjadi
m 2 = [(1 – 5) 2 + (3 – 5) 2 + (6 – 5) 2 + (10 – 5) 2 ]/4 = 11,5
Jadi kita melihat bahwa momen orde pertama dari suatu himpunan nilai adalah mean dan momen orde kedua tentang mean adalah varians dari himpunan tersebut. Momen rata-rata orde ketiga digunakan oleh Karl Pearson untuk perhitungan kemiringan kumpulan nilai, sedangkan momen rata-rata orde keempat digunakan dalam perhitungan kurtosis statistik.
Sumber
Alexander Mood, Franklin A. Graybill, Duane C. Boes, Pengantar Teori Statistik . Edisi ketiga, McGraw-Hill, 1974.
Peter H. Westfall, Memahami Metode Statistik Lanjut . Boca Raton, FL: CRC Press, 2013.
