Aksioma probabilitas

Aksioma adalah serangkaian pernyataan yang diterima sebagai benar tanpa perlu bukti, dan yang mendasari semua teori dan teorema sains. Oleh karena itu, aksioma probabilitas adalah pernyataan mendasar yang menjadi dasar teori probabilitas . Mereka mewakili kerangka acuan terakhir yang harus dirujuk secara logis oleh semua teorema yang ada dalam teori probabilitas. Mereka didalilkan oleh ahli matematika Rusia Andrey Nikolaevich Kolmogorov pada tahun 1933 dan hanya berasal dari akal sehat.

Tujuan dari aksioma probabilitas adalah untuk memformalkan konsep probabilitas matematika untuk memastikan bahwa nilai numerik yang kami berikan pada probabilitas terjadinya sesuatu konsisten dengan gagasan probabilitas intuitif kami.

Definisi awal

Teori probabilitas hanya didasarkan pada tiga aksioma , tetapi sebelum masuk ke perincian, perlu untuk menetapkan beberapa definisi dasar, serta beberapa konvensi seputar simbologi yang digunakan dalam probabilitas:

• Percobaan. Ini adalah tindakan atau proses apa pun yang menghasilkan hasil atau pengamatan. Misalnya, melempar koin adalah percobaan (suatu proses atau tindakan) yang dapat menghasilkan kepala atau ekor.
• Ruang sampel ( S ). Mengacu pada himpunan semua hasil yang mungkin dari suatu percobaan dan dilambangkan dengan simbol S. Dalam contoh lemparan koin di atas, ruang sampel terdiri dari himpunan yang hanya terdiri dari dua hasil: S ={kepala, ekor}.
• Peristiwa ( E ). Suatu peristiwa adalah bagian dari ruang sampel, yaitu sejumlah hasil yang mungkin dari percobaan. Acara biasanya diidentifikasi dengan huruf kapital dan subskrip (seperti E ₁ , E ₂ , E ₃ , dll.) atau dengan huruf yang berbeda (A, B, C,…). Misalnya, munculnya kepala saat melempar koin adalah sebuah peristiwa. Ekor yang muncul adalah acara yang berbeda.
• Probabilitas ( P ): Ini adalah nilai numerik yang diberikan pada suatu peristiwa, dan itu menunjukkan tingkat kepastian yang dimiliki seseorang tentang kejadiannya. Sebagai aturan umum, semakin yakin Anda bahwa suatu peristiwa (misalnya E ₁ ) akan terjadi, semakin tinggi nilai probabilitas yang Anda tetapkan untuk peristiwa itu.

set

Selain definisi ini, juga berguna untuk mengingat beberapa operasi yang berkaitan dengan himpunan. Perpotongan antara dua himpunan menghasilkan himpunan baru dengan unsur-unsur yang sama untuk keduanya, dilambangkan dengan simbol ∩ dan dibaca “dan”. Di sisi lain, gabungan antara dua himpunan adalah himpunan baru dengan semua elemen umum dan tidak umum dari keduanya, dilambangkan dengan simbol ∪ dan dibaca “atau”.

Contoh:

• Ekspresi P(E ₁ ∩ E ₂ ) dibaca “Probabilitas kejadian E ₁ dan kejadian E ₂ terjadi secara bersamaan”
• Ekspresi P(E ₁ ∪ E ₂ ) dibaca “Probabilitas terjadinya kejadian E ₁ atau kejadian E ₂ “

Aksioma 1 Probabilitas

Aksioma probabilitas pertama mengatakan bahwa, mengingat percobaan, probabilitas terjadinya peristiwa apa pun (E) harus berupa bilangan real nonnegatif. Ini secara formal dinyatakan sebagai:

Aksioma 1 mewakili gagasan intuitif bahwa tidak ada artinya berbicara tentang probabilitas negatif . Ini juga menetapkan probabilitas nol sebagai batas bawah, yang ditetapkan untuk kejadian yang tidak mungkin. Yang terakhir secara formal didefinisikan sebagai setiap hasil (atau serangkaian hasil) yang tidak terkandung dalam ruang sampel percobaan.

Contoh:

Ketika sebuah dadu dilempar sekali saja, ruang sampel hanya akan terbentuk oleh himpunan S={1, 2, 3, 4, 5, 6}. Aksioma pertama menyatakan bahwa probabilitas mendapatkan salah satu hasil (4, misalnya) harus berupa angka yang lebih besar dari nol ( P(4)>0 ). Di sisi lain, probabilitas hasilnya adalah 7, yang bukan merupakan bagian dari ruang sampel, adalah nol ( P(7)=0 ).

Perhatikan bahwa aksioma pertama tidak menyatakan besarnya probabilitas kejadian yang mungkin terjadi, yaitu, tidak menyatakan berapa probabilitas yang harus dihasilkan oleh pelemparan dadu, misalnya, 4. Itu hanya menentukan bahwa itu pasti beberapa bilangan positif. .

Aksioma 2 Probabilitas

Aksioma probabilitas kedua menyatakan bahwa, untuk setiap eksperimen, probabilitas ruang sampelnya adalah 1 , atau, secara formal:

Cara sederhana untuk memahami Aksioma 2 adalah bahwa probabilitas suatu hasil, apa pun itu, akan diperoleh dalam percobaan adalah 1.

Contoh:

Seperti disebutkan di atas, ketika melempar koin hanya ada dua kemungkinan hasil: kepala atau ekor, sehingga probabilitas muncul kepala atau ekor, menurut Aksioma 2, adalah 1.

Jika aksioma pertama menetapkan batas bawah probabilitas menjadi nol, aksioma kedua menetapkan batas atasnya menjadi 1. Ini karena ruang sampel adalah peristiwa tertentu dan probabilitasnya harus merupakan probabilitas maksimum yang mungkin. .

Aksioma 3 Probabilitas

Jika kejadian E ₁ , E ₂ , …, E _n tidak memiliki hasil yang sama (persimpangannya adalah himpunan kosong), mereka dikatakan saling lepas, karena kemunculan yang satu mengesampingkan kemunculan yang lain. Aksioma ketiga menyatakan bahwa probabilitas gabungan dari peristiwa yang saling eksklusif sama dengan jumlah probabilitas dari masing-masing peristiwa . Dengan kata lain:

Untuk kasus paling sederhana dari hanya dua kejadian yang saling lepas (seperti dalam kasus pelemparan koin), Aksioma 3 dirumuskan sebagai berikut:

Aksioma ini meresmikan gagasan bahwa semakin banyak hasil yang mungkin terjadi pada suatu peristiwa, semakin besar kemungkinannya. Ini mengikuti dari fakta bahwa penyatuan dua peristiwa yang saling eksklusif harus dengan definisi mengandung jumlah semua hasil di kedua peristiwa.

Penerapan Aksioma

Selain contoh-contoh tersebut di atas, ketiga aksioma tersebut dapat digunakan untuk menyusun dan membuktikan teorema-teorema yang berguna dalam teori probabilitas. Contoh sederhananya adalah menentukan hubungan antara probabilitas suatu peristiwa dan komplemennya.

Jika E adalah suatu kejadian, maka komplemennya (diwakili oleh E ^c ) didefinisikan sebagai kejadian dimana apapun kecuali E terjadi , atau, apa yang terjadi pada hal yang sama, bahwa E tidak terjadi . Definisi ini memiliki dua konsekuensi:

• Bahwa E dan E ^c saling lepas.
• Penggabungan antara E dan E ^c menghasilkan ruang sampel, S ( E ∪ E ^c = S ).

Karena mereka saling eksklusif, berdasarkan aksioma ketiga, kita memilikinya

Tetapi karena penyatuan ini menghasilkan S , maka

Sekarang, menerapkan aksioma kedua , ini menjadi

yang disusun kembali sebagai

Akhirnya, karena kita tahu dari aksioma pertama bahwa P(E ^c ) harus merupakan besaran non-negatif, kita menyimpulkan bahwa probabilitas suatu peristiwa akan terjadi selalu sama dengan 1 dikurangi probabilitas bahwa peristiwa itu tidak akan terjadi, dan bahwa salah satu dari dua probabilitas harus memiliki nilai dalam interval [0, 1].

Sumber

Devone, JL (1998). Probabilitas dan Statistik untuk Teknik dan Sains (edisi ke-4). Penerbit Thomson Internasional.