Berapa peluang terambilnya bilangan prima secara acak?

Dalam Matematika, bilangan prima adalah salah satu topik umum ketika mempelajari bilangan bulat. Karena bilangan prima tidak terbatas, latihan yang menarik untuk berlatih dengan mereka adalah mencari tahu berapa probabilitas bahwa bilangan dari 1 sampai X yang dipilih secara acak adalah bilangan prima.

Apa itu bilangan prima

Bilangan prima adalah bilangan yang hanya dapat dibagi oleh 1 dan dengan dirinya sendiri, yaitu dengan bilangan yang bersangkutan. Ini berarti bahwa ketika dibagi dengan angka lain, hasilnya tidak memberikan bilangan bulat. Juga dianggap bahwa ada bilangan prima yang tak terhingga jumlahnya.

Tidak seperti bilangan prima, bilangan komposit adalah bilangan yang dapat dibagi dengan 1, dengan dirinya sendiri, dan dengan bilangan lainnya.

Angka 1 tidak dianggap sebagai bilangan prima, juga bukan bilangan komposit.

Bilangan prima dan Saringan Eratosthenes

Untuk menemukan semua bilangan prima dengan cepat, matematikawan Yunani Eratosthenes (abad ke-3 SM) menciptakan cara cepat untuk mendapatkan semua bilangan prima hingga bilangan tertentu. Metode ini dikenal sebagai “saringan Eratosthenes”.

Saringan Eratosthenes adalah algoritma yang memungkinkan mengetahui semua bilangan prima lebih kecil dari bilangan asli yang diberikan. Untuk melakukan ini, sebuah tabel dibuat dengan semua bilangan asli antara 2 dan bilangan yang dipilih (n). Dalam contoh ini, n adalah 100.

Kemudian, bilangan yang bukan bilangan prima dicoret. Pertama, mulailah dengan 2 dan coret semua kelipatannya. Ketika bilangan yang tidak disilang ditemukan, semua kelipatannya dicoret, dan seterusnya. Prosedur ini berakhir ketika kuadrat dari angka berikutnya yang dikonfirmasi sebagai prima diperoleh yang lebih besar dari “n”.

Menggunakan Saringan Eratosthenes kita akan mendapatkan 25 bilangan prima antara 0 dan 100: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61 , 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.

Contoh bilangan prima lainnya

Contoh lain bilangan prima antara 100 dan 1000 adalah: 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197 , 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293, 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349 , 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397, 401, 409, 419, 421, 431, 433, 439, 443, 449, 457, 461, 463, 467, 479, 487, 491, 499 , 503, 509, 521, 523, 541, 547, 557, 563, 569, 571, 577, 587, 593, 599, 601, 607, 613, 617, 619, 631, 641, 643, 647, 653, 659 , 661, 673, 677, 683, 691, 701, 709, 719, 727, 733, 739, 743, 751, 757, 761, 769, 773, 787, 797, 809, 811, 821, 823, 827, 829 , 839, 853, 857, 859, 863, 877, 881, 883, 887, 907, 911, 919, 929, 937, 941, 947, 953, 967, 971, 977, 983, 991 dan 997.

masalah bilangan prima

Seperti yang hampir selalu terjadi dalam Matematika, cara terbaik untuk memahami bagaimana bilangan prima dihitung adalah dengan memecahkan masalah. Sekarang mari kita lihat masalah sederhana untuk mengetahui berapa probabilitas kita dapat memilih bilangan prima.

Pertama, kita akan memilih bilangan bulat positif, bisa 1, 2, 3, dst hingga bilangan tertentu X. Kemudian, kita harus memilih salah satu bilangan tersebut secara acak. Ini berarti bahwa semua angka X memiliki peluang terpilih.

Solusi untuk masalah ini sederhana untuk angka X yang rendah. Masalahnya diselesaikan dengan mengikuti langkah-langkah ini:

• Langkah pertama:
  • Hitung jumlah bilangan prima yang kurang dari atau sama dengan X.
• Tahap kedua:
  • Bagilah banyaknya bilangan prima yang kurang dari atau sama dengan X dengan bilangan X itu sendiri. Artinya, jika kita ingin mengetahui peluang terambilnya bilangan prima tertentu dari 1 sampai 10, kita harus membagi banyaknya bilangan prima dengan 10.

Misalnya, untuk mencari peluang terpilihnya sebuah bilangan prima dari 1 sampai 10, kita harus membagi banyaknya bilangan prima dengan 10. Karena ada 4 bilangan prima dari 1 sampai 10: 2, 3, 5, 7, peluang terambilnya sebuah bilangan prima adalah: 4/10 = 0,4, yaitu 40%.

Dengan cara yang sama, jika kita ingin mengetahui probabilitas terpilihnya bilangan prima dari 1 sampai 50, langkah-langkah sebelumnya dapat dilakukan. Kita menghitung bilangan prima kurang dari 50, yaitu 15: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, dan 47. Dan kita membagi jumlah ini dengan 50: 15 /50 = 0,3, yaitu 30%. Jadi, ada peluang 30% untuk memilih bilangan prima dari 1 sampai 50.

Apa teorema bilangan prima

Cara lain untuk mengetahui bilangan prima sampai dengan bilangan tertentu dan menghitung peluang terpilihnya salah satunya adalah dengan menggunakan Teorema Bilangan Prima . Teorema ini diucapkan oleh matematikawan Jerman Gauss selama abad ke-18, dan didemonstrasikan hampir seabad kemudian oleh matematikawan lain, seperti Jacques Hadamard dari Prancis dan Charles-Jean de la Vallée Poussin dari Belgia.

Teorema Bilangan Prima menyatakan bahwa ada sekitar X / ln(X) bilangan prima yang kurang dari atau sama dengan X. Dalam pernyataan ini:

• ln(X): adalah logaritma natural dari X.
• X : adalah angka ke atas yang ingin kita ketahui bilangan primanya.

Dengan meningkatnya nilai X, kesalahan relatif antara jumlah bilangan prima kurang dari X dan pernyataan X / In(X) berkurang.

Bagaimana menerapkan Teorema Bilangan Prima

Dengan Teorema Bilangan Prima kita dapat memecahkan masalah yang mirip dengan yang sebelumnya, terutama jika kita ingin mengetahui bilangan prima di antara jumlah bilangan yang lebih besar.

Dengan Teorema Bilangan Prima, kita tahu bahwa ada sekitar X/ln(X) bilangan prima yang kurang dari atau sama dengan X. Selain itu, ada total X bilangan bulat positif yang kurang dari atau sama dengan X. Oleh karena itu, probabilitasnya bahwa bilangan prima yang dipilih secara acak dalam rentang ini adalah: ( X / ln(X) ) / X = X / ( ln(X) . X ) = 1 / ln(X).

Misalnya, kita dapat menggunakan hasil tersebut untuk menghitung, kira-kira, probabilitas pemilihan bilangan prima secara acak di antara jutaan bilangan bulat pertama.

Untuk melakukan ini, kita harus menghitung logaritma natural dari sejuta. Oleh karena itu, kami memiliki:

P(1.000.000) = (X/ln(X) / X = 1 / ln(X)

P(1.000.000) = 1 / ln(1.000.000)

Jadi kita mendapatkan ln(1.000.000) = 13,8155 dan 1 / ln(1.000.000) kira-kira 0,07238. Oleh karena itu, kami memiliki peluang sekitar 7,238% untuk memilih bilangan prima secara acak dari jutaan bilangan bulat pertama.

Bibliografi

• López Mateos, M. Matematika Dasar. (2017). Spanyol. Buat Ruang.
• dk. Buku matematika. (2020). Spanyol. dk.
• Gracian, E. Bilangan prima: jauh menuju tak terhingga. (2010). Spanyol. Buku RBA.