Berapa angka sebenarnya?

Angka memiliki sifat yang berbeda dan dapat diklasifikasikan ke dalam berbagai kelompok. Salah satu golongan ini, dengan aplikasi luas di berbagai cabang matematika, adalah bilangan real. Untuk memahaminya dengan lebih baik, pertama-tama mari kita lihat apa saja jenis-jenis angka tersebut.

Angka-angka

Hal pertama yang kita pelajari tentang angka adalah bagaimana menggunakannya untuk berhitung; kita mulai dengan mencocokkannya dengan jari kita untuk melakukan operasi sederhana. Jadi, sepuluh jari kita adalah dasar dari sistem desimal. Dari sana kami menghitung jumlah sebesar yang kami bisa dan perhatikan bahwa jumlahnya tidak terbatas. Jadi, menambahkan nol (0) ketika kita tidak punya apa-apa untuk dihitung, bilangan asli terbentuk.

Dengan bilangan asli kita melakukan operasi aritmatika dan ketika kita mengurangkan bilangan lain dari suatu bilangan, kita harus memperkenalkan bilangan negatif. Jadi, dengan menambahkan bilangan negatif ke bilangan asli, kita mendapatkan himpunan bilangan bulat.

Di antara operasi aritmatika yang kami lakukan dengan angka adalah pembagian. Dan kami menemukan bahwa ada kasus di mana ketika membagi satu angka dengan angka lainnya, hasilnya bukan bilangan bulat; Dalam banyak kasus, hasil pembagian ini hanya dapat diwakili secara akurat oleh ekspresi pembagian itu sendiri, yaitu pecahan. Beginilah cara membangun himpunan bilangan rasional, di mana semua bilangan ditulis sebagai pecahan dan bilangan bulat memiliki bilangan 1 sebagai penyebutnya.

Peradaban kunolah yang mengamati bahwa ada angka yang tidak dapat direpresentasikan sebagai pecahan. Saat bekerja dengan bentuk geometris, mereka menemukan angka pi, hubungan antara jari-jari dan panjang lingkaran, angka yang tidak dapat dinyatakan sebagai hasil bagi antara dua bilangan bulat. Ini juga kasus akar kuadrat dari angka 2 (yaitu, angka yang dikalikan dengan dirinya sendiri akan menghasilkan angka 2). Dan masih banyak bilangan yang muncul di berbagai cabang ilmu yang bukan merupakan bagian dari himpunan bilangan rasional. Angka-angka ini, yang tidak dapat secara tepat direpresentasikan sebagai hasil bagi dari dua bilangan bulat, disebut bilangan irasional. Himpunan bilangan rasional dan irasional merupakan himpunan bilangan real.

Bilangan real adalah bagian dari kumpulan bilangan yang lebih besar: bilangan kompleks. Perpanjangan himpunan bilangan real ini muncul ketika kita ingin menghitung akar kuadrat dari bilangan negatif; Karena perkalian dua bilangan negatif selalu positif, tidak ada bilangan real yang dikalikan dengan dirinya sendiri adalah negatif. Kemudian bilangan imajiner i didefinisikan , yang mewakili akar kuadrat dari -1, dan himpunan bilangan kompleks muncul.

representasi desimal

Semua angka dapat dinyatakan dalam bentuk desimal; Misalnya, bilangan rasional 1/2 dapat dinyatakan dalam bentuk desimal sebagai 0,5. Berbeda dengan bilangan rasional 1/2, yang dapat diwakili dengan tepat oleh satu tempat desimal, bilangan rasional lainnya memiliki jumlah tempat desimal yang tak terhingga dan tidakMereka dapat diekspresikan persis dengan representasi desimal. Ini adalah kasus nomor 1/3; Representasi desimalnya adalah 0,33333…, dengan jumlah tempat desimal yang tak terbatas. Bilangan rasional ini disebut bilangan desimal periodik, karena dalam semua kasus terdapat urutan bilangan yang diulang berkali-kali tanpa batas. Dalam soal bilangan 1/3 urutannya adalah 3; dalam kasus angka 1/7, bentuk desimalnya adalah 0,1428571428571…, dan urutan yang diulang tanpa batas adalah 142857. Bilangan irasional bukanlah bilangan desimal periodik; tidak ada urutan yang diulang berkali-kali tak terhingga dalam representasi desimalnya.

Representasi visual

Bilangan real dapat divisualisasikan dengan mengasosiasikan masing-masingnya ke salah satu dari banyak titik tak terhingga di sepanjang garis lurus, seperti yang ditunjukkan pada gambar. Dalam representasi grafis ini terletak angka pi, yang nilainya kira-kira 3,1416, angka e , kira-kira 2,7183, dan akar kuadrat dari angka 2, kira-kira 1,4142. Dari angka 0 ke kanan, bilangan real positif terletak dalam bentuk naik, dan ke kiri bilangan negatif meningkatkan nilai absolutnya ke arah itu.

Beberapa sifat bilangan real

Bilangan real berperilaku seperti bilangan bulat atau bilangan rasional, yang lebih kita kenal. Kita dapat menambah, mengurangi, mengalikan, dan membaginya dengan cara yang sama; satu-satunya pengecualian adalah pembagian dengan angka 0, sebuah operasi yang tidak mungkin dilakukan. Urutan penjumlahan dan perkalian tidak penting, karena sifat komutatif masih berlaku, dan sifat distributif berlaku dengan cara yang sama. Dengan cara yang sama, dua bilangan real x dan y diurutkan dengan cara yang unik, dan hanya satu dari relasi berikut yang benar:

x = y , x < y atau x > y

Bilangan real tidak terbatas, seperti bilangan bulat dan bilangan rasional. Pada prinsipnya ini jelas karena bilangan bulat dan rasional adalah himpunan bagian dari bilangan real. Tetapi ada perbedaan: dalam kasus bilangan bulat dan bilangan rasional dikatakan bahwa mereka adalah bilangan tak terbatas yang dapat dihitung; sebaliknya, bilangan real tak terhingga banyaknya.

Himpunan dikatakan dapat dihitung atau dihitung jika setiap komponennya dapat dikaitkan dengan bilangan asli. Asosiasinya jelas dalam kasus bilangan bulat; dalam kasus bilangan rasional dapat dilihat sebagai asosiasi dengan pasangan bilangan asli, pembilang dan penyebutnya. Tetapi asosiasi ini tidak mungkin dalam kasus bilangan real.

Sumber

• Arias Cabezas, Jose Maria, Maza Saez, Ildefonso. Aritmatika dan Aljabar . Dalam Carmona Rodríguez, Manuel, Díaz Fernández, Francisco Javier, eds. Matematika 1. Grup Editorial Bruno, Perusahaan Terbatas, Madrid, 2008.
• Carlos Ivorra. Logika dan Teori Himpunan . 2011.