Az aritmetikai számításokat vagy algebrai kifejezéseket magában foglaló szimbólumkombinációk között gyakran találunk három szimbólumot, amelyeket gyakran összekevernek a használatukban; zárójelek ( ), szögletes zárójelek [ ] és kapcsos zárójelek { }. Nézzük meg, mi a konkrét alkalmazása mindegyiknek, valamint néhány példát az ötletek rögzítésére.
A zárójelek ( ) számok és változók csoportosítására szolgálnak, számításokban vagy algebrai egyenletekben. Amikor zárójelet találunk a különböző aritmetikai műveletek közepette, akkor megmondják nekünk, hogy milyen sorrendben kell ezeket elvégezni. Emlékezzünk arra, hogy minden egyéb jelzés nélkül a szorzás és osztás elsőbbséget élvez az összeadással és kivonással, a hatványozás pedig a szorzással és osztással szemben. Ha azonos prioritású műveleteket kell végrehajtani, a számítás balról jobbra halad a matematikai kifejezésben. Nézzük meg a műveletek sorrendjét jelző zárójelek szerepét a következő példában.
9 – 5 ÷ (8 – 3) × 2 + 6
A zárójelek azt jelzik, hogy a terében javasolt műveletet először végre kell hajtani, anélkül, hogy figyelembe vennénk az aritmetikai műveletek szokásos prioritási sorrendjét. Ebben a példában a szorzási és osztási műveleteket a kivonás előtt kell végrehajtani, de mivel a 8 – 3 művelet zárójelben van, először ezt a számítást kell elvégeznünk. Ha a zárójelben lévő összes számítást elvégeztük, ebben az esetben csak 8-3-at, akkor azokat kiszűrjük, és a szokásos prioritásokkal folytatjuk a többi műveletet. Ebben az esetben a (8 – 3) helyére 5 kerül, és a számítás felbontási sorrendje a következő lenne.
9 – 5 ÷ (8 – 3) × 2 + 6 = 9 – 5 ÷ 5 × 2 + 6
9 – 5 ÷ 5 × 2 + 6 = 9 – 1 × 2 + 6
9 – 1 × 2 + 6 = 9 – 2 + 6
9 – 2 + 6 = 7 + 6
7 + 6 = 13
A zárójelek implicit módon azt is jelzik, hogy ez szorzási művelet. Például a 3(2 + 5) kifejezésben a zárójelek azt jelzik, hogy az összeadást először a zárójelek 2 + 5 szóközén belül kell végrehajtani. De nincs kifejezett művelet a három és a zárójelek szóköze között, így ami szorzásnak tételezzük fel. Egy általánosabb eset, két zárójelben a (6 –3)(2 + 3) kifejezés lenne. Ismételten először a zárójelek közötti térben kell megoldanunk a két számítást, azaz 6 – 3 és 2 + 3, majd feltételezzük, hogy mindkét eredmény szorzatát kell elvégeznünk. Az érthetőség kedvéért dolgozzuk ki a számítást.
(6–3) (2 + 3) = (6–3) × (2 + 3)
(6–3) × (2 + 3) = (3) × (3)
(3) × (3) = 3 × 3
3 × 3 = 9
A zárójeleket akkor is használjuk, ha számokat és változókat kell csoportosítani egy számításban vagy egy algebrai egyenletben, de ha már zárójelet használtunk. Azaz, ha a már csoportosított térben számokat és változókat kell csoportosítani, akkor a belső csoportot zárójel, a külsőt pedig szögletes zárójel jelzi. Ha egy másik harmadrendű csoportosításra van szükség ugyanabban a térben, akkor kapcsos zárójeleket kell használni. A sorozat, amelyet beágyazott zárójeleknek is neveznek, a következő sorrendet követné: { [ ( ) ] }
Nézzünk egy példát egy matematikai kifejezésre, amely zárójeleket és szögletes zárójeleket kombinál. A zárójelekhez hasonlóan, ha a zárójelek mellett nincs kifejezett művelet, akkor azt feltételezzük, hogy szorzásról van szó.
4 – 3[4 – 2(6 – 3)] ÷ 3
Ebben a kifejezésben először a zárójelek terén belüli műveleteket kell megoldanunk.
4 – 2 (6 – 3)
Ennek a kifejezésnek viszont van egy prioritási sorrendje, amelyet zárójelek jeleznek; Először a 6 – 3 különbséget kell megoldani. Lássuk a számítási sorrend teljes alakulását.
4 – 3[4 – 2(6 – 3)] ÷ 3 = 4 – 3 × [4 – 2 × (6 – 3)] ÷ 3
4–3 × [4–2 × (6–3)] ÷ 3 = 4–3 × [4–2 × (3)] ÷ 3
4–3 × [4–2 × (3)] ÷ 3 = 4–3 × [4–6] ÷ 3
4–3 × [4–6] ÷ 3 = 4–3 × [-2] ÷ 3
4 – 3 × [-2] ÷ 3 = 4 + 6 ÷ 3
4 + 6 ÷ 3 = 4 + 2
4 + 2 = 6
Most nézzünk egy példát, amely egyesíti a három szimbólumot.
2{1 + [4(2 + 1) + 3]}
Mint már említettük, az általános szabály az, hogy a beágyazott zárójeleket belülről kifelé kell feloldani. Lássuk a számítási sorrendet.
2{1 + [4(2 + 1) + 3]} = 2 × {1 + [4 × (2 + 1) + 3]}
2 × {1 + [4 × (2 + 1) + 3]} = 2 × {1 + [4 × (3) + 3]}
2 × {1 + [4 × (3) + 3]} = 2 × {1 + [12 + 3]}
2 × {1 + [12 + 3]} = 2 × {1 + [15]}
2 × {1 + [15]} = 2 × {16}
2 × {16} = 32
A zárójeleket, zárójeleket és kapcsos zárójeleket gyakran kerek, szögletes és göndör zárójeleknek is nevezik. Egyes kifejezésekben csak zárójelek használatosak, még akkor is, ha több beágyazott számítási hely van. Ez különösen akkor történik meg, ha a beágyazás három szintnél nagyobb, ebben az esetben már nem lesznek szimbólumok, amelyek megkülönböztetik a beágyazási szinteket. Ha csak zárójeleket használ, különös gondot kell fordítani a zárójelek közötti első szóköz azonosítására a beágyazásban, feloldására, majd a következő szintre lépésre.
Szökőkút
Samuel Selzer, Algebra és analitikus geometria. Második kiadás. Buenos Aires, 1970.
