A várható érték vagy a matematikai elvárás kiszámítása

A matematikában a várható érték , más néven elvárás , egy valószínűségi változó értékének hosszú távú átlaga. Bizonyos értelemben megfelel annak a valószínűségi változónak, amelyet egy véletlenszerű kísérlet többszöri megismétlése után átlagosan elvárnánk (innen a „várható érték” elnevezés).

A szóban forgó valószínűségi változó típusától függően kétféleképpen lehet kiszámítani a várható értéket. Ezt a változót általában a nagy X betű jelöli, és lehet folyamatos vagy diszkrét. Mindegyik esetben változik az X (jelezve E[X]) várható kiszámításának módja , amint az alább látható.

Egy diszkrét valószínűségi változó várható értékének kiszámítása

Valószínűségi változó minden olyan függvény, amely egy számot vagy számértéket rendel egy véletlenszerű kísérlet minden eredményéhez, legyen az kvantitatív vagy minőségi. A diszkrét valószínűségi változók esetében azokra a valószínűségi változókra vonatkozik, amelyeknek véges számú lehetséges kimenetele van, vagy amelyek kimenetele első, második, harmadik stb.

A diszkrét valószínűségi változóra példa lehet a páros számok száma, amikor két hatoldalú kocka dobott. Ebben az esetben a valószínűségi változó egyetlen lehetséges értéke 0, 1 és 2 lenne.

Egy diszkrét valószínűségi változó várható értékét úgy számítjuk ki, hogy összeadjuk a változó egyes értékeinek szorzatát és az érték valószínűségét. Ez matematikailag felírható a következő képlettel:

Ebben az egyenletben E[X] az X elvárása (az érték, amit meg akarunk határozni), x _i a valószínűségi változó i-edik értékének, P(x _i ) pedig annak a valószínűsége, hogy a kísérlet eredménye x _i .

Példa egy diszkrét valószínűségi változó várható értékének kiszámítására

A várható érték fogalmának gyakorlati és egyszerű megértése a szerencsejáték. Képzeljen el egy szerencsejátékot, mint a műsor, amelyet helyi változatokkal számos országban sugároznak a televízióban. Ebben a rulettkerékben bizonyos esetekben 4 ék van, amelyek 400 dollár elvesztését eredményezik, van 5 ék, amelyek 0-t, 6-ot tartalmaznak, amelyek 1000 dollárt és 1 éket tartalmaznak 6000 dolláros főnyeremény mellett. A kérdés az, hogy mekkora a várható értéke annak a pénzösszegnek, amit a rulett versenyzők nyernek hosszú távon?

Amikor egy ilyen problémával szembesülünk, először meg kell határoznunk a rulettkerék megpörgetéséből álló kísérlet összes lehetséges eredményét. Ezenkívül meg kell tudni határozni a valószínűségi változó minden lehetséges értékének megszerzésének valószínűségét.

Ebben az esetben csak 4 lehetséges kimenetel van, ezek: 400 USD, 0 USD, 1000 USD és 6000 USD. Összesen 4 + 5 + 6 + 1 = 16 ék van, tehát a valószínűségi változó egyes kimeneteleinek valószínűsége 1/4, 5/16. 3/8 és 1/16.

Most már megvan, ami az összegzés elvégzéséhez szükséges a várható érték meghatározásához:

Ez azt jelenti, hogy hosszú távon a rulett 650 dollárt fizet a résztvevőknek.

Folyamatos valószínűségi változó várható értékének kiszámítása

Ha egy valószínűségi változó folytonos, az azt jelenti, hogy lehetséges értékeinek halmaza valós számok intervallumából áll, függetlenül attól, hogy ez az intervallum véges vagy végtelen. Folyamatos valószínűségi változók esetén a valószínűséget a pdf, az összegzést pedig az integrállal helyettesítjük:

Ebben az egyenletben x a folytonos valószínűségi változó, f (x) pedig x valószínűségi eloszlásfüggvényének felel meg. Amint itt látható, az integrált az X- valószínűségi változó összes lehetséges értékén kell elvégezni.

Példa egy folytonos valószínűségi változó várható értékének kiszámítására

Tekintsünk egy folytonos valószínűségi változót, amelynek eloszlási függvénye a következő:

Meg kell határoznia, mi ennek a folytonos valószínűségi változónak az átlagos vagy várható értéke.

A probléma megoldása során figyelembe kell venni, hogy a függvényt szakaszosan definiáljuk, a valós sort 3 intervallumra osztjuk, amelyek (-∞; -2 ), [-2 ; 2] és (2 ; + ∞). Ily módon az X elvárás képletének alkalmazásakor az integrált három integrál összegére osztjuk:

De mivel az x valószínűségi változó nulla az első és az utolsó intervallumban, akkor mindkét integrál nulla, ami csak a középső integrált adja, -2 és +2 között értékelve:

Hivatkozások

Várható érték kalkulátor. (nd). Letöltve: http://www.learningaboutelectronics.com/Articulos/Calculadora-de-valor-esperado.php

del Rio, AQ (2019, szeptember 4.). 5.4 Egy véletlen változó matematikai elvárása | Édesített alapstatisztika. Letöltve: https://bookdown.org/aquintela/EBE/esperanza-matematica-de-una-variable-aleatoria.html

López, JF (2021, február 15.). Matematikai remény. Letöltve: https://economipedia.com/definiciones/esperanza-matematica.html

MateMobile. (2021, január 1.). Egy folytonos valószínűségi változó átlagos vagy várható értéke, szórása és szórása | matmobil. Letöltve: https://matemovil.com/media-o-valor-esperado-varianza-y-desviacion-estandar-de-una-variable-aleatoria-continua/

Webster, A. (2001). Vállalkozásra és gazdaságra vonatkozó statisztikák (spanyol kiadás) . Toronto, Kanada: Irwin Professional Publishing.