Független események szorzási szabálya

Sok olyan helyzet van, amikor két esemény egyidejű bekövetkezésének valószínűségét szeretnénk megtalálni. Néhány közülük:

• Határozza meg annak valószínűségét, hogy két kockával egyszerre vagy egymás után dobunk egy dupla hatost.
• Mekkora a valószínűsége annak, hogy egy csoportból véletlenszerűen kiválasztott személy nő és sötét bőrű is.
• Annak a valószínűsége, hogy az iskola valamely részlegéből válasszunk ellentétes nemű tanulópárt.
• Annak a valószínűsége, hogy két redundáns vezérlőrendszer egyszerre meghibásodik egy űrrakéta kilövésénél.

Ez a problémaosztály a valószínűségek szorzásának általános szabályával oldható meg. Ez a szabály megállapítja, hogy két A és B esemény esetén annak valószínűségét, hogy azok egyidejűleg bekövetkeznek, vagyis a metszés valószínűségét, a következőképpen adja meg:

Ebben az egyenletben P(A|B) az A esemény bekövetkezésének feltételes valószínűsége B adott esetben. A fenti általános szorzási szabály, és minden eseménypárra vonatkozik. Egyes esetekben a feltételes valószínűség ismeretlen vagy nehezen meghatározható; független események esetén azonban ezt a valószínűséget leegyszerűsítjük, hogy létrejöjjön a független események szorzási szabálya.

Független események szorzási szabálya

Mik azok a független események?

Két A és B esemény független egymástól, ha az egyik bekövetkezése nem befolyásolja a másik bekövetkezésének valószínűségét. Matematikai értelemben ez azt jelenti, hogy bármelyik esemény bekövetkezésének feltételes valószínűsége, ha tudjuk, hogy a másik bekövetkezett, egyenlő az első bekövetkezésének egyszerű valószínűségével. Más szavakkal, két esemény csak akkor független, ha:

A fentiek értelmezése az, hogy A bekövetkezésének valószínűsége, feltéve, hogy B bekövetkezett, megegyezik A bekövetkezésének valószínűségével. Ez azt jelenti, hogy B előfordulása nem befolyásolta A bekövetkezésének valószínűségét, így mindkét esemény bekövetkezik. út.

Minden olyan eseménypár, amely nem felel meg a fenti feltételnek, függő esemény lesz.

Hogyan hat ebben az esetben a szorzási szabály?

Amint látjuk, a függetlenségi feltétel első kifejezése felhasználható az általános szorzási szabály egyszerűsítésére, mivel az első tényező helyettesíthető A egyszerű valószínűségével, így a következő kifejezést kapjuk:

A fenti kifejezés független események valószínűségeinek szorzásának szabályaként ismert . Ez azt jelenti, hogy ha tudjuk, hogy két esemény független egymástól, és ismerjük bekövetkezési valószínűségüket, akkor ezeknek a valószínűségeknek a szorzásával meghatározhatjuk annak valószínűségét, hogy mindkettő egyszerre fog bekövetkezni.

Példák független eseményekre

Az információ hiánya megnehezítheti annak megállapítását, hogy két esemény független-e. Például azt gondolhatnánk, hogy a barna hajnak semmi köze a mellrák előfordulásához, de az emberi test fiziológiája annyira összetett, hogy ezt egyetlen orvos sem merné kijelenteni.

Számos egyszerű kísérlet létezik azonban, amelyek során könnyen megállapíthatjuk, hogy két esemény független-e vagy sem.

• Egyszerre dobj két kockát. Két kocka dobásakor az egyik eredménye semmilyen módon nem befolyásolja a másikon megjelenő eredményt, így az az esemény, hogy az egyik kocka egy adott számra kerül, független attól, hogy a másik kocka egy másik számra kerül. ugyanaz, sőt.
• Ugyanazon kocka kétszer egymás utáni dobásának eredménye ugyanazon okok miatt független egymástól.
• Kétszer dobj fel egy érmét. Az a tény, hogy az első alkalommal fejet vagy farkát landol, nem befolyásolja a következő dobás eredményét.
• Egy olyan hűtőszekrénygyárban, amely két független gyártósorral rendelkezik a külön nyersanyagot és munkaerőt használó alkatrészekhez, elfogadható az a feltételezés, hogy a két alkatrész közül az egyik meghibásodásának valószínűsége független a másik meghibásodásának valószínűségétől.
• Egy kártya vagy pakli véletlenszerű kihúzása a pakliból, annak cseréje, majd véletlenszerűen egy másik kártya kihúzása a pakliból különálló események, mivel az eredeti kártya cseréje a pakliban visszaállítja az eredeti kártya felhúzásának esélyét.

Példák nem független eseményekre

• Egy kártya vagy pakli véletlenszerű kihúzása a pakliból, majd egy másik kártya kihúzása ugyanabból a pakliból az első csere nélkül nem független események, mivel az első húzása csökkenti a pakliban lévő kártyák teljes számát, ami befolyásolja a másik kártya jön ki. Továbbá, ha nem cseréljük ki az első kártyát, annak a valószínűsége, hogy másodszor is kijön, nulla lesz.
• Járó autóban annak a valószínűsége, hogy az autó motorja túlmelegszik és a motort hűtő vízszivattyú meghibásodása nem független események, hiszen ha a vízpumpa meghibásodik, sokkal valószínűbb, hogy a motor túlmelegszik.
• Még könnyebben érthető példa, hogy a statisztikában a jó jegyek megszerzése nem független a tanulástól , hiszen ha tanulunk, nagyobb eséllyel kapunk jó jegyeket.

Példák a független események szorzási szabályát használó valószínűségszámításra

1. példa: Egy érme kétszeri feldobása

Tegyük fel, hogy ki akarjuk számolni annak a valószínűségét, hogy egy érme kétszeri feldobásakor mindkét dobásnál fej lesz az eredmény.

Ha A-nak nevezzük azt az eseményt, amelyben az első dobás fejeket, B-t pedig annak az eseménynek nevezzük, amelyben a második dobás fejeket talál, akkor annak a valószínűsége, amelyet ki kell számítanunk, az A és B metszéspontjának valószínűsége, mivel azt szeretnénk, hogy mindkét esemény bekövetkezzen. . Vagyis az ismeretlen P(A∩B).

Mivel minden dobásnak csak két lehetséges kimenetele van, mindkét esemény bekövetkezésének valószínűsége azonos:

Nos, mivel tudjuk, hogy az események függetlenek, a szorzási szabály segítségével meghatározhatjuk a metszés valószínűségét:

2. példa: Két kocka dobása

Számítsuk ki annak a valószínűségét, hogy két közös hatoldalú kocka dobásakor az egyik az egyikre, a második pedig páros számra kerül.

Nevezzük a következő eseményeket A-nak és B-nek:

       A = az egyik kocka 1-re esik.

       B = az egyik kocka páros számra esik.

Amit szeretnénk kiszámítani, az ismét P(A∩B).

Mivel mindegyik kocka eredménye független a másikat eredményező számtól, a független események szorzási szabályával kiszámíthatjuk P(A∩B)-t. De először szükségünk van A és B valószínűségére.

A kocka 6 lappal rendelkezik 1 és 6 közötti számokkal, amelyek nem ismétlődnek. Ezért csak egy 1 van, és három páros szám van, mégpedig 2, 4 és 6. Ezért az egyes események bekövetkezésének valószínűsége a következő:

Ezeket a valószínűségeket és a szorzási szabályt felhasználva megkapjuk a kívánt valószínűséget:

3. példa: Meghibásodott alkatrészek

A számítástechnikai berendezéseket gyártó gyár többek között két különböző gyártótól származó két különböző chipet vagy integrált áramkört használ. Az első chip gyártója szerint annak valószínűsége, hogy normál üzemi körülmények között meghibásodik, 0,00133. A maga részéről a második gyártó azzal büszkélkedhet, hogy minden 5000 beépített egységre csak két chipje hibásodik meg. A gyár tulajdonosa meg akarja találni annak valószínűségét, hogy mindkét alkatrész egyszerre meghibásodik. Az egyes chipmárkák meghibásodása a másiktól függetlennek tekinthető.

Ebben az esetben maga az utasítás határozza meg, hogy a két esemény független, ezért használhatjuk a fenti szorzási szabályt. Ezen kívül megadjuk az első chip meghibásodásának valószínűségét is, amit A eseménynek nevezünk. A második chip meghibásodásának valószínűsége (B esemény) a gyártó által megadott információkból számítható ki:

Tehát annak a valószínűsége, hogy mindkét komponens egyszerre meghibásodik:

Hivatkozások

Feltételes valószínűség és függetlenség . (nd). Floridai Egészségügyi Egyetem. https://bolt.mph.ufl.edu/6050-6052/unit-3/module-7/

Devore, JL (1998). VALÓSZÍNŰSÉG ÉS STATISZTIKA A MÉRNÖK ÉS TUDOMÁNYOK SZÁMÁRA . International Thomson Publishers, SA

Frost, J. (2021, május 10.). Szorzási szabály valószínűségszámításhoz . Statisztikák Jim. https://statisticsbyjim.com/probability/multiplication-rule-calculating-probabilities/

Szorzási szabály, megoldott gyakorlatok . (2021, január 1.). MateMobile. https://matemovil.com/regla-de-la-multiplicacion-o-producto-de-probabilidades/

Valószínűségi szorzási szabály . (nd). Egyetemi oktatók. https://www.varsitytutors.com/hotmath/hotmath_help/spanish/topics/multiplication-rule-of-probability

Szorzási szabály (valószínűség) [Példák] . (nd). Fhybea. https://www.fhybea.com/multiplication-rule.html

Az általános szorzási szabály . (nd). Khan Akadémia. https://www.khanacademy.org/math/ap-statistics/probability-ap/probability-multiplication-rule/a/general-multiplication-rule